integral berechnen (dirac‘sche Funktion)

Question

Aufgabe:

\( \int \limits_{-4}^{4} x^{2} \delta(\sin (x)) d x \)

Problem/Ansatz:

Moin, kann mir jemand mit bei dem integral helfen? Laut Lösung soll da 2pi^2 raus kommen. Ich komme da irgendwie noch drauf. Kann mir jemand da weiter helfen?

\( \int \limits_{-4}^{4} x^{2} \delta(\sin (x)) d x=\sum \limits_{n} \frac{x_{n}^{2}}{\left|\cos \left(x_{n}\right)\right|} \)
\( \sin (x)=0 \Longrightarrow x_{n}=\pm m \cdot \pi \) mit \( \pm m \in \mathbb{N}_{0} \)
\( \Longrightarrow \) unendichviele NS
\( \Rightarrow \int \limits_{-4}^{4} x^{2} \delta(\sin (x)) d x=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}^{2}}{\cos \left(x_{n}\right)}=\frac{m^{2} \pi^{2}}{\cos (\pm m \pi)}=-m^{2} \pi^{2} \)

Answer 1

Aloha :)

Du brauchst nur über die \(f(x)\) zu summieren, für deren \(x\) die \(\delta\)-Funktion verschwindet:$$\int\limits_a^bf(x)\,\delta(x-x_0)\,dx=\left\{\begin{array}{cl}f(x_0) & \text{falls }x\in(a;b)\\0 & \text{sonst}\end{array}\right.$$Die Nullstellen der Sinus-Funktion im Intervall \((-4;4)\) lauten:$$x_0=-\pi\quad;\quad x_1=0\quad;\quad x_2=\pi$$Daher gilt für das gesuchte Integral:$$\int\limits_{-4}^4x^2\,\delta(\sin(x))\,dx=(-\pi)^2+0^2+\pi^2=2\pi^2$$