Lineare Unabhängigkeit von Abbildungen/ Funktionen

Question

Ich habe mal wieder eine Frage, diese Mal zur linearen Unabhängigkeit:

Aufgabe:

a) B=(f1,f2,...,f12) in V = Abb(ℝ,ℝ) mit f_a: ℝ→ℝ, x → (x-a)⁸

b) B= (g_a)_a∈ℝ in V = Abb(ℝ,ℝ) mit g_a= ℝ→ℝ, x → 0 für x≤a, x → x-a für x≥a

Problem/Ansatz:

Klar ist, dass ich Gleichungen aufstellen kann, mit λ₁f₁+λ₂f₂+λ₃f₃...=0. Ich dachte mir, dass die Gleichung dann auch als ax⁸+bx⁷+...+hx+i=0 geschrieben werden kann. Da diese Gleichung aber nur 9 Koeffizienten hat, ist das entstehende LGS für die 12 Unbekannten unterbestimmt, d.h. es gibt unendlich viele Lösungen, d.h. linear abhängig. Passt dieser Gedanke?

Bei dem zweiten kann ich mir gerade nicht wirklich etwas vorstellen.

Vielleicht hat ja jemand ein paar Gedanken dazu, die er/ sie mit mir teilen will:) Vielen lieben Dank

Answer 1

Die f_a sind alle aus dem Raum der Polynome mit Grad≤8.

Dieser hat die Dimension 9.

Also gibt es dort nie mehr als 9 linear unabhängige Elemente.

Comments

Okay, das ist ziemlich offensichtlich :) vielen Dank für deine Hilfe!

Jetzt brauche ich nur noch einen Ansatz bei der b.

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Die g_a  sind ja unendlich viele.

Die sind linear unabhängig, wenn jede endliche Auswahl

davon lin. unabh. ist.

Sind also a₁, a₂, ..., a_n verschiedene Werte aus R

und die sind aufsteigend geordnet, und

\(  \sum\limits_{i=1}^n λ_ig_{a_i}(x) = 0  \) für alle x∈ℝ.

Dann gilt für a1<x<a2 ja , dass \( g_{a_i}(x) = 0  \)

für alle i>1. Aber \( g_{a_1}(x) = x-a_1  \).

Also muss gelten \( λ_1\cdot(x-a_1) =0 \) für alle a1<x<a2.

Sind nun x1 und x2 zwei verschiedene solche x-Werte,

die es ja sicherlich gibt, etwa x1=(a1+a2)/2 und

x2=(a1+a2)/3 dann gilt also

\( λ_1\cdot(x_1-a_1) =0 \) und \( λ_1\cdot(x_2-a_1) =0 \)

==>   \( λ_1\cdot(x_2-x_1) =0 \)

Und weil die Klammer nicht 0 ist, folgt λ₁ = 0.

So ähnlich bekommt man wohl für  a2<x<a3

auch   λ₂ = 0 . etc.

So ist wohl gezeigt:  Jede endliche Auswahl aus B2

ist linear unabhängig, also auch B2.