Zeigen Sie, dass die Abbildung b : VxV → K, (A, B) ↦ tr(AB) eine nicht ausgeartete Bilinearform ist.bi

Question

Aufgabe:

Sei dim(V) < ∞ . Eine Bilinearform b : V x V → K heißt ausgeartet, wenn es ein v ∈ V/{0}
gibt mit b(v,w) = 0 für alle w ∈ V . Andernfalls heißt b nicht ausgeartet.

a) Sei n ∈ ℕ und V = K^nxn .

Zeigen Sie, dass die Abbildung b : VxV → K, (A, B) ↦ tr(AB)

                                                        eine nicht ausgeartete Bilinearform ist. tr ist hierbei die Spur.

b) Zeigen Sie, dass die Abbildung
b : R³xR³ → R, (x₁,x₂,x₃ ; y₁,y₂,y₃) ↦ x₁y₁ + 2x₂y₂ + 3x₂y₃

      eine ausgeartete Bilinearform ist.

könnte jemand helfen?

LG Blackwolf

Comments

Welche Probleme hast Du bei dieser Aufgabe? Kannst Du zeigen, dass es Bilinesrformen sind? Bei a? Bei b?

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Ich war leider in der letzten Vorlesung krank und Versuche mich alleine durch den Stoff zu arbeiten, habe aber Probleme damit.

Gezeigt das es Bilinearformen sind hab ich bisher noch nicht, da ich nicht genau weiß wie ich an die Aufgabe rangehen soll.

Answer 1

Hallo,

schauen wir mal auf b). Grundsätzlich werden für eine Bilinearform einige Eigenschaften verlangt (kurz: Linearität in jedem der beiden Argumente - musst Du mal genau nachlesen). Z.B. \(b(x+y,z)=b(x,z)+b(y,z)\) für beliebige x,y,z aus dem Raum. Wenn eine Abbildung b gegeben ist, muss geprüft werden, ob diese Eigenschaften vorliegen. Hier kann man das einfach nachrechnen. Mit \(x=(x_1,x_2,x_3)\), etc.

$$b(x+y,z)=(x_1+y_1)z_1+2(x_2+y_2)z_2+3(x_2+y_2)z_3$$

$$=x_1z_1+y_1z_1+2x_2z_2+2y_2z_2+3x_2z_3+3y_2z_3$$

Und

$$b(x,z)+b(y,z)=x_1z_1+2x_2z_2+3x_2z_3+ y_1z_1+2y_2z_2+3y_2z_3$$

Und wir sehe, beide Seiten sind gleich.

In dieser Weise musst Du alle Eigenschaften für eine Bilinearform überprüfen.

Diese Bform ist ausgeartet. Denn für \(x:=(0,0,1)\) gilt:

$$\forall y \in \mathbb{R}^3: \quad b(x,y)=0$$

Gruß Mathhilf