Ist f eine auf ℝ stetige Funktion?

Question

Problem/Ansatz:

… Hallo ,kann mir bitte jemand helfen limX-0^+ für cos(1/2x) zu berechnen

Text erkannt:

ii) Die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) sei gegeben durch
\( f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \cos \left(\frac{1}{2 x}\right)-\sin (x), & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{array}\right. \)
Ist \( f \) eine auf \( \mathbb{R} \) stetige Funktion?

Comments

Lass Dir doch cos(1/(2x)) Platten, damit Du einen Eindruck von der Lage bekommst.

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion \(f(x)\) ist stetig im Punkt \(x=0\), wenn gilt:$$\lim\limits_{x\to0}f(x)=f\left(\lim\limits_{x\to0}x\right)=f(0)$$Wir kennen \(f(0)=0\) und die Funktion \(f(x)=\cos\frac{1}{2x}-\sin x\):$$\lim\limits_{x\to0}\left(\cos\frac{1}{2x}-\sin x\right)=0$$

Die Funktion \((\cos\frac{1}{2x})\) konvergiert nicht, weil der Limes superior gleich \((+1)\) und der Limes inferior gleich \((-1)\) ist. Daher ist die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x=0\) unstetig.

Answer 2

Wähle 2 Nullfolgen von x  so dass  bei 1/2xn,  cos(1/2xn)=0 und eine zweite mit cos(1/2xn)=1

Gruß lul