Was ist der erwartete Gewinn?

Question

Aufgabe:

Wir werfen eine Münze bis zum ersten Mal Kopf kommt. Wenn beim n-ten Wurf zum ersten Mal Kopf kommt, dann gewinnen wir 2ⁿ €. Da es auf der Welt nur etwa 2⁴⁷ € Geld gibt, gilt diese Regel nur für n ≤ 47 und für n > 47 gewinnen wir stets nur 2⁴⁷ €. Was ist der erwartete Gewinn?

Problem/Ansatz:

Die Wahrscheinlichkeit Kopf/Zahl zu bekommen, ist 1/2.

D.h. wenn wir im ersten Wurf Kopf bekommen, gewinnen wir 2 € mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2.

Wenn wir im zweiten Wurf erst Kopf bekommen, dann gewinnen wir 4€ mit einer Wkt. von 1/4.

Wie genau kann man damit den erwarteten Gewinn berechnen?

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D.h. wenn wir im ersten Wurf Kopf bekommen, gewinnen wir 2 € mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2.

Das ist nicht richtig.

Wenn wir im ersten Wurf Kopf bekommen, dann gewinnen wir 2 € mit einer Wahrscheinlichkeit von 1.

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Der Fragesteller meint sicher:

Die Wahrscheinlichkeit das wir 2 Euro beim ersten Wurf gewinnen beträgt 1/2.

Es war aber eigentlich denke ich klar was der Fragesteller gemeint hat, auch wenn er nicht in der Lage war das richtig zu kommunizieren.

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Das war falsch formuliert, ja. Wenn wir Kopf haben bekommen wir natürlich die 2€. Gemeint war, dass man mit Wkt. von 1/2 Kopf im ersten Wurf bekommt und damit dann (nur) 2€ gewinnt.

Answer 1

Formel für den Erwartungswert einer Zufallsgröße X.

E(X) = ∑ (i) (xi * P(X = xi))

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D.h. das hier wäre der Erwartungswert?

$$E(X)= (\sum \limits_{i=1}^{47}((\frac{1}{2})^i*2^i))+ (\sum \limits_{i=48}^{\infty}((\frac{1}{2})^i*2^{47}))$$

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Das wäre dann nachdem ich die kompletten Reihen ausgerechnet habe genau 48 als erwarteter Gewinn.

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Ja das ist richtig. Beim Linken Teil ist das einfach 47 * 1 und beim Rechten Teil ist es einfach 1.

Answer 2

2^n*(1/2)^n = (2*1/2)^n = 1^n = 1

PS:

Wie hoch ist der Einsatz? Wieviel verliert man, wenn K nicht kommt?

Comments

Wie hoch ist der Einsatz? Wieviel verliert man, wenn K nicht kommt?

Wenn du die Frage liest: "Wir werfen eine Münze bis zum ersten Mal Kopf kommt.", dann kommt Kopf irgendwann. Davon kannst du also ausgehen. Mögest du auch unendlich lange Würfeln. Also die Wahrscheinlichkeit als Grenzwert ist 1 das Kopf fällt.

Gewinn ist schon die Differenz aus Auszahlung minus Einzahlung (Einsatz). Der Einsatz ist daher nicht notwendig. Es ist nach dem erwarteten Gewinn gefragt.

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Es gibt keinen Einsatz scheinbar. Man kann also nur gewinnen. Man wirft ja auch so oft bis Kopf kommt.

Aber wie kann der erwartete Gewinn unter 2 sein, wenn man 2 doch auf jeden Fall gewinnt (das ist ja der worst-case, dass man im ersten Wurf schon Kopf bekommt)?

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Aber wie kann der erwartete Gewinn unter 2 sein,

Wer sagt denn, dass der erwartete Gewinn unter 2 liegt bei oben genannten Spiel ?

Wenn das so ist dann ist das Speil falsch formuliert.

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Dachte das wäre der erwartete Gewinn, aber das war ja nur ein erster Ansatz einer Idee :)