Zeigen Sie, dass p(x) in [-4,4] genau drei Nullstellen besitzt.

Question

Aufgabe: Nullstellen bestimmen und Beweis

Problem/Ansatz: ich konnte leider diese Aufgabe nicht lösen. Kann jemand mir helfen?

1. Sei \( p(x)=x^{3}-15 x+1 \). Zeigen Sie, dass \( p(x) \) in \( [-4,4] \) genau drei Nullstellen besitzt.
2. Sei \( f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig und es gelte \( f(-1)<-1 \) und \( f(1)>1 \). Zeigen Sie, dass ein \( x_{0} \in(-1,1) \) existiert mit \( f\left(x_{0}\right)=x_{0}^{3} \).

Comments

Willst Du das wissen was im Titel steht oder das was in der Aufgabe steht?

Answer 1

1)
p(-4) = -3
p(-3) = +19
p(-2) = +23
p(-1) = +15
p(0) = +1
p(1) = -13
p(2) = -21
p(3) = -17
p(4) = +5

p(x) hat im Intervall [-4,4] drei Vorzeichenwechsel und damit drei Nullstellen. Es sind genau drei Nullstellen, denn eine kubische Funktion hat maximal drei Nullstellen.

2)
Die Funktion \( g(x) = x^3 \) nimmt im Intervall [-1,+1] alle Werte zwischen -1 und +1 an. Außerdem gilt g(-1) = -1 und g(1) = +1.

Die Funktion f(x) ist im Intervall [-1,+1] stetig und nimmt wegen \( f(-1) < -1 \) und \( f(+1) > +1\) alle Werte zwischen -1 und +1 an.

Wegen \( f(-1)<-1 \) und \( f(1)>1 \) gilt für die Differenz \( f(-1)-g(-1) < 0 \) und \( f(+1)-g(+1) > 0\). Somit muss die Differenz \( f(x) - g(x) \) im Intervall [-1,+1] mindestens eine Nullstelle x₀ aufweisen. Und dann gilt f(x₀) = g(x₀) = x₀^3