Grenzwert im Existenzfall bestimmen ohne l'Hospital

Question

Aufgabe: Berechnen Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert oder begründen Sie, weshalb der jeweilige Grenzwert nicht existiert. Die Aufgaben sollen ohne der Anwendung der Regel von l'Hospital gelöst werden.

Ansatz für diese Aufgabe: Der Grenzwert existiert nicht, da die Sinusfunktion für ∞ nicht definiert ist. Frage: Lässt sich hier die Sinusfunktion irgendwie entfernen bzw. auflösen durch irgendeinen Trick oder existiert er hier wirklich nicht?

Ansatz: Ich habe versucht mittels Eins-Ergänzung das x aus dem Nenner zu bekommen, damit ich die 4 einfach einsetzen kann aber egal wie ich es drehe und wende, ich erhalte immer eine Nullsumme im Nenner... Vielleicht sieht jemand den Trick, den man hier braucht oder kann mir anderweitig weiterhelfen?

Comments

Der Grenzwert existiert nicht, da die Sinusfunktion für ∞ nicht definiert ist.

Das ist als Argumentation falsch.

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Auffällig ist auch, dass$$ \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\sin (x)^{2}-1}$$ für viele \(x\) im Reellen gar nicht definiert ist.

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Okay danke erstmal, leider weiß ich nicht ganz, was du meinst. Kannst du deine Aussagen begründen?

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Aus dem Umstand, dass eine Funktion "im Unendlichen" nicht definiert ist, lässt sich nicht ableiten, dass sie dort keinen "Grenzwert" anstrebt.

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Es muss gelten:

sin(x)^2 -1 >= 0

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Ah es dämmert mir. Das bedeutet, dass die Funktion nur für x ∈ ℝ : sin(x) = 1 eine Lösung besitzt, also in der Unendlichkeit unendlich viele Lösungen hat aber auch unendlich oft nicht definiert ist.

Könnte ich dann folgendermaßen argumentieren, dass die Funktion für alle sin(x) = 1 gegen 0 konvergiert und andernfalls nicht definiert ist?

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Könnte ich dann folgendermaßen argumentieren, dass die Funktion für alle sin(x) = 1 gegen 0 konvergiert und andernfalls nicht definiert ist?

Nein, damit hättest du allenfalls begründet, dass die Aufgabe ein wenig schräg ist. Aber es läuft in die richtige Richtung.

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Liegt das Problem in der Formulierung?

Vielleicht den Konvergenzbegriff vorerst rauslassen, quasi:

Sei D ⊂ ℝ mit D := { x | sin(x) = 1}

Sei f : D → { 0 }, f(x) = \( \sqrt{sin(x) - 1} \)

                         ⇓

              \( \lim\limits_{x\to\infty} \) f(x) = 0

Könntest du mir ansonst sagen, wie ich weiter in die richtige Richtung gehen kann?

Answer 1

$$\begin{aligned}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt x-2}&=\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt x-2}\cdot\frac{\sqrt{1+2x}+3}{\sqrt{1+2x}+3}\\&=\frac{2x-8}{(\sqrt x-2)(\sqrt{1+2x}+3)}\\&=\frac{2(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}{(\sqrt x-2)(\sqrt{1+2x}+3)}\\&=2\frac{\sqrt x+2}{\sqrt{1+2x}+3}.\end{aligned}$$Nun setze \(x=4\) ein.

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Danke! Die binomische Formel zu entdecken ist immer wieder mein Problem!

Answer 2

\( \sqrt{sin(x)^2-1} \)  = i·cos(x)

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Achso ja, vergessen zu erwähnen. Die Funktionen sind in ℝ aber trotzdem danke :)

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Die Werte von f(x)=\( \sqrt{sin(x)^2-1} \) sind nicht in ℝ.

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Genau so steht es in der Aufgabe:

Wir untersuchen die Folgenden Grenzwerte von Funktionen in ℝ:

... und dann unter anderem die oben stehende Aufgaben.

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Aus der Erläuterung folgt, dass auf dem maximalen Definitionsbereich der Funktion f(x) = 0 gilt, und das trifft dann auch für den Grenzwert zu