Hallo,
zuerst mal sollte es in der Aufgabe \(||f(x)-v||<\varepsilon\) heißen, sonst macht das alles wenig Sinn.
Die rechte Seite von \(\Leftrightarrow\) wird auch oft als Definition von \(\lim_{x\to c}f(x)=v\) verwendet. Ich denke also ihr habt folgende Definition von \(\lim_{x\to c}f(x)=v\):
Für jede Folge \((x_n)_n\) in \(D\) mit \(x_n\to c\) gilt \(f(x_n)\to v\).
Dann bleiben also die beiden Richtungen zu zeigen.
Zu "\(\Leftarrow\)" will ich erstmal nicht viel sagen. Sei \((x_n)_n\) eine beliebige Folge in \(D\) mit \(x_n\to c\). Schreibe dir auf, was es heißt, dass \(x_n\to c\). Schreibe dir dann auf, was es heißt, dass \(f(x_n)\to v\) (das willst du ja zeigen). Dann sieht man eigentlich ganz gut, wie die Voraussetzung anzuwenden ist.
Zu "\(\Rightarrow\): Das würde ich per Widerspruch machen. Sei \(\lim_{x\to c}f(x)=v\). Angenommen die rechte Seite gilt nicht, dann gibt es ein \(\varepsilon>0\) sodass für alle \(\delta>0\) ein \(x_\delta\in D\) existiert mit \(||x_\delta-c||<\delta\) aber \(||f(x_\delta)-v||\geq\varepsilon\). Wir können also eine Folge \((x_n)_n\) in \(D\) wählen mit \(||x_n-c||<\frac{1}{n}\) und \(||f(x_n)-v||\geq\varepsilon\). Das ist ein Widerspruch (warum?).
Ich hoffe das hilft erstmal.
LG Dojima
