Wie zeigt man, dass die Richtungsableitung existert?

Question

Aufgabe:

Wie zeigt man, dass die Richtungsableitung existert?

Problem/Ansatz:

gegeben sei die folgende Funktion g(x,y):

(e^x )- 1, falls x=y, und x != 0

0, sonst

Beh:

Für jedes v von R^2 außer (0,0) existiert die Richtungsableitung Dvg(0, 0) von g in (0, 0).

Die vielen (0,0) verwirren mich irgendwie.

Comments

Hallo

soll g(x,y) wirklich e^x-1 sein ?

warum irritiert dich der 0 Vektor  und der 0 Punkt?

lul

Answer 1

Sei \(v=(v_1,v_2)\neq (0,0)\). Dann ist$$D_v(0,0)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{g((0,0)+t(v_1,v_2))-g(0,0)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{g(tv_1,tv_2)}{t}$$ Das ist für \(v_1=v_2\) und \(v_1\neq 0\)$$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^{tv_1}-1}{t}=v_1$$ und sonst \(=0\).