Gleichmäßige & Punktuelle Konvergenz

Question

Aufgabe:

Sei für n ∈ N die Funktion \( f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f_{n}(x)=\frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}} \)

Problem/Ansatz:

Hey, wie berechne bzw. untersuche ich diese Funktion auf punktweise bzw. gleichmäßige Konvergenz?
Ich peil es einfach nicht, danke im voraus.
LG

Comments

Für \( x \neq 0 \) ist \( 1 < 1 + x^2 \implies (1+x^2)^n \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} ? \)

Also

$$ \frac{x^2}{(1+x^2)^n} \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} ? $$

Was passiert bei \( x= 0 \) ?

Also konvergiert die Folge punktweise gegen \(f(x)=...\)?

Wenn die Folge gleichmäßig konvergiert, dann gegen dieselbe Funktion wie bei der punktweisen Konvergenz. Also muss dann geprüft werden, ob \( \sup_{x \in \R} |f_n(x) - f(x)| \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 0 \).