Zeigen Sie, dass E(X) existiert, Var(X) jedoch nicht.

Question

Aufgabe:

Sei Ω = N, X(n) = n und $$m(n) = \frac{1}{a} * \frac{1}{n^3}$$
mit der endlichen Konstanten $$a = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$$
Zeigen Sie, dass E(X) existiert, Var(X) jedoch nicht.

Problem/Ansatz:

Konkret müsste das ja bedeuten, da Var(X) = (X-E(X))² ist, dass das nicht zwingend konvergiert.

Also müsste man zeigen, dass $$E(X) = \sum \limits_{n=1}^{\infty} n* \frac{1}{a} *\frac{1}{n^3}$$ konvergiert und  $$Var(X) = \sum \limits_{n=1}^{\infty} (n - E(X))^2 * \frac{1}{a} *\frac{1}{n^3}$$ nicht konvergiert.

Beim ersten das sehe ich ja noch. a konvergiert gegen irgendeinen Wert, dann kann man 1/a nach vorne ziehen, da es unabhängig von n ist. Dann steht in der Summe noch n * 1/n³, das ist 1/n² und auch diese Reihe konvergiert dann.

Aber wie zeigt man, dass das $$\sum \limits_{n=1}^{\infty} (n - E(X))^2 * \frac{1}{a} *\frac{1}{n^3}$$ nicht konvergiert? Wäre dankbar für Hilfe. :)

Comments

E(X) ist eine reelle Zahl. Forme (n-E(X))² mit der binomischen Formel um und betrachte die einzelnen Reihen....

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Man kann 1/a wieder nach vorne ziehen, dann steht da:

$$\frac{1}{a} \sum \limits_{n=1}^{\infty} (n^2 - E(X)^2) *\frac{1}{n^3} = \frac{1}{a} \sum \limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{E(X)^2}{n^3} ) = \frac{1}{a} (\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} - \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{E(X)^2}{n^3} )$$.

Die erste Reihe divergiert weil es die harmonische Reihe ist. Reicht das schon um sagen zu können, dass das Ganze divergieren muss?

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Dein Beitrag ist schwer einzuschätzen. Es sieht im ersten Schritt so aus als hättest Du:

$$(n-E(X))^2=n^2-E(X)^2$$

gerechnet. Hast Du?

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Ja, das ist falsch. Es müsste n² - 2*n*E(X) + E(X)²  sein.

Aber die Frage bleibt bestehen, reicht es wenn eine der Reihe divergiert, dass damit folgt, dass Var(X) divergieren muss?

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In diesem Fall reicht es, weil die Reihen über den 2. und 3. Summanden konvergieren, die Reihe über den 1. aber nicht.

Übrigens ist Dein Ergebnis trotz Deines Fehlers "zufällig" richtig. Es gilt allgemein:

$$Var(X)=E(X^2)-E(X)^2$$

wenn alles existiert.

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Vielen Dank!