Normalverteilung - Berechnen Sie P(X≤27.1)

Question

Aufgabe:

X folgt einer Normalverteilung mit Mittelwert μ=−1.3 und Standardabweichung σ=30.54. Berechnen Sie P(X≤27.1). (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Problem/Ansatz:

Hallo! Ich habe große Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe, anscheinend liegt mir die Normalverteilung einfach noch nicht. Ich habe bereits viele andere Aufgaben angeschaut und keine konnte mir wirklich weiterhelfen.

Ich habe gerechnet:

(27,1 - (-1.3)) / 30.54 = 0.929928

Wie geh ich nun weiter vor?

Entschuldigung für die blöde Frage, da sie ja schon öfters beantwortet worden ist, jedoch möchte ich es gerne in Hinblick auf die Prüfung verstehen.

Vielen Dank im Voraus!

mit freundlichen Grüßen,

Jana

Answer 1

Aloha :)

Für eine normalverteilte Zufallsvarible X mit Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) gilt:$$P(X\le x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$$Das nennt man auch die "z-Transformation":$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$Man kann zeigen, dass die so entstandene Zufallsvariable \(Z\) normalverteilt ist mit Erwartungswert \(\mu_z=0\) und Standardabweichung \(\sigma_z=1\). Dies ist die sogenannte Standard-Normalverteilung \(\Phi(z)\), die man früher in Tabellen hinterlegt hatte und nachschlagen konnte. Auch heute ist die \(z\)-Transformation noch gebräuchlich, obwohl viele moderne Taschenrechner die Standardnormalverteilung auch für beliebige \(\mu\) und \(\sigma\) bestimmen können.

In deinem konreten Fall kannst du also den Funktionswert \(\Phi(0,929928)\) in einer Tabelle nachschlagen (z.B: Internet) oder schauen, wie du deinen Taschenrechner dazu motivierst, die Funktion zu berechnen:

$$\Phi(0,929928)\approx0,823795818$$

Comments

Ich bin dir unendlich dankbar, vielen vielen Dank! Jetzt macht das alles viel mehr Sinn, danke!!

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Noch eine kurze Frage zum Ergebnis. Wenn in der Lösung steht, dass ich das Ergebnis in Prozent angeben muss, wie lautet es dann?

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Prozent beudetet ja "durch Hundert", also musst du das Ergebnis vorher mal Hundert nehmen, damit der Wert gleich bleibt:$$0,823795818=0,823795818\cdot100\%\approx82\%$$