Mithilfe des Residuensatzes

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie mithilfe des Residuensatzes die folgenden Ausdrücke:
(a)  \( \oint_{|z|=1} \frac{z \cos (z)-\sin (z)}{z^{4}} \mathrm{~d} z \),
(b) \( \oint_{|z-i|=3} \frac{e^{z}}{(z-\pi i)(z+4 \pi i)} \mathrm{d} z \).

Hallo, hat jemand einen Ansatz für die beiden Aufgaben? Mir würde es sich sehr helfen wenn jemand eine Aufgabe vollständig mit Erklärung bearbeiten könnte, würde dann die andere selbst versuchen

Comments

Die verallgemeinerte Cauchy Integralformel ist hier mMn leichter anzuwenden.

1) \( \frac{2\pi i}{3!}\left.\frac{d³}{dz³}(z\cos(z)-\sin(z))\right|_{z=0}\)

= \( \frac{2\pi i}{6} \cdot (-2) = -\frac{2\pi i}{3}\)

2) \( \frac{2\pi i}{0!}\left.\frac{d^0}{dz^0}\frac{e^z}{z+4\pi i}\right|_{z=\pi i}\)

= \( \frac{2\pi i}{1} \cdot \frac{-1}{5\pi i} = -\frac{2}{5}\)

Answer 1

Zu (a):

Die \(\cos\)- und \(\sin\)-Reihe liefern$$g(z)=\frac {z\cos(z)}{z^4}=\frac{1}{z^3}-\frac{1}{2}z^{-1}+z(...)$$also \(Res(g,0)=-1/2\) und$$h(z)=\frac{\sin(z)}{z^4}=\frac{1}{z^3}-\frac{1}{3!}z^{-1}+z(...)$$also \(Res(h,0)=-1/6\) und damit ergibt sich \(Res(g-h,0)=-1/2+1/6=-1/3\).

Der Wert des Integrals ist somit \(-\frac{1}{6\pi i}\) <- Falsch !

Richtig muss es \((-1/3)\cdot 2\pi i=-2/3\pi i\) heißen, sorry !

Zu (b):

Hier habe ich \(10\pi^2\) für das Integral erhalten, u.a. habe ich den Integranden
in Partialbrüche zerlegt. VORSICHT ! Hier habe ich vermutlich auch einen Faktor
auf der falschen Seite gehabt, also nicht glauben, was ich geschrieben habe !

Comments

Danke vorab für deine Mühe. Könntest du mir vielleicht erklären, wie du auf die residuen gekommen bist?

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Hallo Ermanus,

lautet der Residuensatz nicht: Integral =\(2\pi\)*Residuen (also Multiplikation von \(2\pi\)?

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Ja, mathhilf, das habe ich verbaselt, habe es aber in (a)

korrigiert, sorry ! Bei (b) werde ich vermutlich denselben

Unsinn verzapft haben :(

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Ermanus könntest du mir erklären, wie du in der b) vorgegangen bist? Mittels partialbruchzerlegung??

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Es ist$$\frac{e^z}{(z-\pi i)(z+4\pi i)}=\frac{1}{5\pi i}(\frac{e^z}{z-\pi i}-\frac{e^z}{z+4\pi i})$$

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Ok danke, geht man dann genau gleich vor wie bei der a)? Hier halt mit Hilfe der exponentialreihe

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Ich hatte das so gemacht. Du musst dich übrigens nur um

die Pole kümmern, die von deinem Kreis umrundet werden.

Damit hat du nur noch das Residuum einer der beiden Summanden

zu bestimmen. Eine kleine Substitution vereinfacht die Geschichte dann noch.

Alternativ kannst du ja auch den Weg von MatHaeMatician gehen:

der führt wohl rascher zum Ziel.

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Ok danke, könntest du mir noch kurz erklären, wie du auf das residuum -1/2 und -1/6 gekommen bist?

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Wenn Du das Residuum in z0 suchst kannst du die Funktion um z0 in eine Laurent-Reihe entwickeln. Das hat ermanus oben in zwei Schritten gemacht (für z0=0)

Das Residuum ist dann der Vorfaktor von \( (z-z_0)^{-1}\). Kann also einfach aus der Laurent-Reihe abgelesen werden.

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Ah ok, verstehe, danke