Zeigen Sie: sei v einvektorraum

Question

Aufgabe:

sei v ein R-Vektorraum ausgestattet mit einem Skalarprodukt. Sei U ein Untervektorraum. Zeigen Sie:
(i) V =U⊕U⊥.
(ii) Angenommen V = U + W und W ⊥ U. Dann folgt W = U⊥.
Bemerkung: (i) impliziert insbesondere, dass in einem euklidischen Raum dimU⊥ = dim V − dim U für jeden Unterraum U ⊂ V gilt.

Problem/Ansatz: habt ihr vielleicht eine Idee danke

Comments

Hallo

weisst du denn wie U⊥ definiert ist? was fehlt dann denn noch für den Beweis?

lul

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Ich weiß es leider nicht

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Ist was gesagt ob V endlichdimensional ist ?

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Muss man aus der in (ii) angeführten Gleichung schließen und auch für (i) annehmen.

Answer 1

Also gehen wir mal von endlichdimensional aus und unterscheiden 2 Fälle:

1. U=V dann ist U^⊥ = {0} und für jedes v∈V

ist v = v+0 also aus U + U^⊥ und wegen U ∩ U^⊥ = {0}

ist die Summe direkt.

2. U≠V, dann besitzt U eine Basis (u₁,...,u_n) und diese

ist zu einer Basis (u₁,...,u_n,v₁,...,v_m) von V ergänzbar.

Aus dieser wiederum lässt sich (nach Gram-Schmidt)  eine

Orthogonalbasis von V (u1',...,un',v1',...,vm') gewinnen .

Dann ist (u1',...,un') eine Orthogonalbasis von U

und (v1',...,vm') eine von U^⊥.

Ist nun v∈V, dann gibt es a1,...,an∈ℝ und b1,...,bm∈ℝ

mit v = a1u1'+...anun' + b1v1',...,bmvm' .

Dabei liefern die ersten n Summanden ein Element

aus U und die übrigen eines aus U^⊥.  Also ist V als

Element von U + U^⊥ dargestellt.

Und wegen der Orthogonalität gilt U ∩ U^⊥ = {0}.