Berechnen Sie ∫I x*exy d(x,y) für I:= [0,a] x [0,b]

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie ∫_I x*e^xy d(x,y)  für I:= [0,a] x [0,b]

Problem/Ansatz:

Ich kriege diese Aufgabe einfach nicht gelöst. Ich muss doch die partielle Integration nutzen, oder? Ich kriege dabei aber immer ein anderes Ergebnis raus, als bei einem Online Calculator.

Kann mir vielleicht mal bitte jemand ne Step by Step Lösung geben, für den inneren Integral, mit partieller Integraiton? Oder geht es auch ohne part. Integration?

Comments

Nach Fubini/Tonelli kannst du das Integral in zwei Integrale auftrennen:

\( \int_0^a \int_0^b x\textrm{e}^{xy}\textrm dy \textrm dx\)

\(= \int_0^a \int_0^b \frac{\partial}{\partial y}\textrm{e}^{xy}\textrm dy \textrm dx \)

\( = \int_0^a \textrm{e}^{xb} - 1  \textrm dx \)

\(= \frac{ \textrm{e}^{ab}-1}{b} - a \)

Answer 1

Hallo,

\( \int\limits_I xe^{xy} \,d(x,y) = \int\limits_0^a\int\limits_0^b xe^{xy}\,dydx \)

Da \( \frac{d}{dy}(e^{xy}) = xe^{xy} \), ist

\( \int\limits_0^b xe^{xy}\, dy = e^{bx} - 1 \)

Nun gilt es also

\(\int\limits_0^ae^{bx}-1\,dx\) zu bestimmen

Comments

Dankeschön. Wieso aber der Teil nach deinem "Da" ?

nach partieller Integration wäre doch x = f, e^xy = g', f * g' - ∫f * g.

also x * e^xy - x*e^xy, da doch die e funktion abgeleitet, die e funktion bleibt.

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Der Teil nach "Da" begründet, dass (für festes x) \( F(y) = e^{xy} \) eine Stammfunktion von \( f(y) = xe^{xy} \) ist.

Dann folgt mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

\( \int\limits_0^b f(y) \,dy = F(b) - F(0) \)

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Dankeschön, aber wieso fällt das x denn weg, wenn man nach y integriert??? Muss das x vorne nicht erhalten bleiben?

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Beispiel: Wie würdest du denn

\( \int\limits_0^1 y^2 \,dy \) berechnen?

Du suchst doch eine Stammfunktion von \( g(y) = y^2 \) um die Stammfunktion an den Grenzen auszuwerten.

Hier passiert nichts anderes.

Wir suchen bei \( \int\limits_0^b xe^{xy} \, dy \) eine Stammfunktion von \( f(y) = xe^{xy} \). Und eine mögliche ist eben durch \( F(y) = e^{xy} \) gegeben, da \( F'(y) = xe^{xy} = f(y) \)

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nach partieller Integration wäre doch x = f, e^(xy) = g', f * g' - ∫f * g.

Von einer Funktion die Stammfunktion mal die anderen Funktion

minus das Integral von der Stammfunktion mal die Ableitung der anderen Funktion

In der Benennung f=x und g'=e^(xy)

Wäre also die Umformung zu

F*g' - ∫ F*g'' dx

Oder

g*f - ∫ g*f' dx

möglich. Deins ist keins von beiden.

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"also x * e^(xy) - x*e^(xy), da doch die e funktion abgeleitet, die e funktion bleibt."

Das ist übrigens falsch.

Wenn du partiell integrieren möchtest musst du beachten, dass du hier bzgl. y integrierst!

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Ahh, das x vor dem e wird als Konstante betrachtet, wenn man nach dy integriert???

Also wird das x zu einer 1? Aber das wäre ja dann ableiten. Werden bei der partiellen Integration und partiellen Ableitung, die Variablen, nach denen nicht integriert, bzw. abgeleitet wird, immer gleich behandelt? Also fallen sie in beiden Fällen einfach weg?

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Wenn ich jetzt nach diesem Ansatz gehe:

g*f - ∫g*f' dy, mit: f = x, g' = e^xy

Dann erhalte ich doch für das innere Integral:

\( \int\limits_{0}^{b} \)  x * e^xy dy

= (x * e^xy - \( \int\limits_{0}^{b} \) e^xy *1, oder nicht?

da f = x, also bleibt das x stehen. Das minus der Stammfunktion e^xy , was ebenfalls e^xy ist, oder? Denn e^xy abgeleitet gibt doch e^xy

Oder wie muss ich hier beachten, dass nach dy integriert wird? Was passiert dann mit dem Exponenten von e, was muss ich da tun? Muss das x vom Exponenten dann nach vorne? Ne, oder? Ich integriere doch nach y

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Denn e^(xy) abgeleitet gibt doch e^(xy)

Nein. Wenn du nach x ableitest ist

∂/∂x e^(xy) = y*e^(xy)

Wenn du nach y ableitest

∂/∂y e^(xy) = x * e^(xy)

Beim partiellen ableiten behandelst du alle anderen Variablen wie Konstanten.

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Ich checks nicht. Wiso kommt wenn ich nach x ableite, das y vom exponenten nach vorne? Und anders rum das x nach vorne, wenn ich nach y ableite?

Und dann wäre das so richtig?

\( \int\limits_{0}^{b} \)  x * e^xy dy = x * e^xy - \( \int\limits_{0}^{b} \)   x * e^xy * 1

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wenn du zB e^(5x) nacch x ableitest kommt doch auch 5*e^(5x) raus.

Und wenn du jetzt y statt 5 hinschreibst funktioniert das ganz genauso

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Aber wieso ableiten. Ich muss doch integrieren. von g' die Stammfunktion finden. Also von e^(...) die Stammfunktion. Wie gehe ich da vor? Genau so, wie beim ableiten der e funktion?

Ich behandel andere Variablen doch nur als Konstanten, wenn die mit plus oder mius dranhängen, aber doch nicht bei *, oder?

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Ist folgende Lösung richtig?

\( \int\limits_{0}^{a} \) \( \int\limits_{0}^{b} \)  x * e^xy dy dx =

\( \int\limits_{0}^{a} \) x (\( \int\limits_{0}^{b} \) e^xy dy) dx =

\( \int\limits_{0}^{a} \) x  (\( \int\limits_{0}^{b} \) e^xy \( \frac{1}{x} \) )dx =

\( \int\limits_{0}^{a} \) \( \frac{x}{x} \) (\( \int\limits_{0}^{b} \) e^xy )dx =

\( \int\limits_{0}^{a} \) 1 * [e^xy ]₀^b dx = \( \int\limits_{0}^{a} \) e^xb -1 dx

= [\( \frac{1}{b} \)  - x ]₀^a = (\( \frac{1}{b} \)  * e^ab -a) - \( \frac{1}{b} \) = \( \frac{1}{b} \)  (e^ab -a -1) ?

Was ich nur nicht verstehe ist, wieso man ableitet, beim integrieren. Bzw. wieso man vom Exponenten die Konstante C rausholt und mit 1/C vor e schreibt.

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1. Gleichheit ist richtig

Ab der 2. fängt es an seltsam zu werden

Wo kommt das /x her? Wo geht das dy hin?

Es ist \( \int_0^b e^{xy} dy = [ e^{xy}/x ]_0^b = (e^{xb}-1)/x \)

Iwie rechnest du da richtig, aber schreibst komisches Zeug auf.

Das Integral in der letzten Zeile hast du nicht richtig gelöst

e^(xb)-1 hat Stammfunktion e^(xb)/b - x

Also kommt raus e^(ab)/b - a - (1/b - 0)

= (e^(ab) - 1)/b - a

Was ich nur nicht verstehe ist, wieso man ableitet, beim integrieren. Bzw. wieso man vom Exponenten die Konstante C rausholt und mit 1/C vor e schreibt.

Um beim Beispiel zu bleiben:

e^(5x) hat die Stammfunktion 1/5*e^(5x)

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e^xy integriert nach y ist doch 1/x * e^xy , oder nicht?

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Das stimmt schon. Siehe letzter Kommentar. Nur deine Notation ist falsch.

\( \int\limits_{0}^{a} \) x (\( \int\limits_{0}^{b} \) e^(xy) dy) dx
= \( \int\limits_{0}^{a} \) x  (\( \int\limits_{0}^{b} \) e^(xy) \( \frac{1}{x} \) )dx

Schreibe besser

\( \int_0^ a x (\int_0^b e^{xy} dy) dx \)

\( = \int_0^a x \cdot [ e^{xy}/x ]_0^b dx \)

\( = \int_0^a x \cdot \frac{e^{xb} - 1}{x} dx \)

Etc.

Answer 2

Aloha :)

Das Integral geht doch so durch, zuerst nach \(dy\), dann nach \(dx\) integrieren. Ich schreibe mir an das Integral immer dran, für welche Variable die Integrationsgrenzen gelten, dann komme ich nicht durcheinander:$$I=\int\limits_{x=0}^a\;\int\limits_{y=0}^b x\,e^{xy}\,dx\,dy=\int\limits_{x=0}^a\left[e^{xy}\right]_{y=0}^b\,dx=\int\limits_{x=0}^a\left(e^{bx}-1\right)dx=\left[\frac1be^{bx}-x\right]_{x=0}^a$$$$\phantom{I}=\left(\frac1be^{ab}-a\right)-\left(\frac1b-0\right)=\frac{e^{ab}-1}{b}-a$$