Question

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Sei M ein metrischer Raum und K ⊂ M kompakt. Beweisen oder widerlegen Sie:
(a) A ⊂ K ist genau dann abgeschlossen, wenn A vollständig ist.
Bemerkung: Vollständigkeit von A bedeutet in diesem Fall, dass jede Cauchy-Folge in A einen Grenzwert in A besitzt.
(b) Jede abgeschlossene Menge ist auch kompakt.
(c) DieMengeK={n1|n∈N}⊂Ristkompakt.

Answer 1

Hello zu a) ja das stimmt. Jetzt stellt sich die Frage, was ihr in der Vorlesung hattet.

Denn jeder kompakter metrische Raum ist auch vollständig. Genauso ist jede vollständige Menge auch abgeschlossen.

B) nein das ist natürlich nicht korrekt. Nimm das Intervall von [0,unendlich) in R. Diese Menge ist unbeschränkt aber abgeschlossen, dadurch nicht kompakt

C) steht da n1? Also wenn das die natürlichen Zahlen sein sollen, dann ist diese Menge natürlich nicht kompakt den die Folge an=n besitzt keine konvergente Teilfolge.

Comments

Dankeschön, aber sorry bei C) ist nicht n1 sondern n/1 also n durch 1

Danke im Voraus

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Du hast diese Aufgabe zweimal gefragt. Beim ersten mal war es noch 1/n. Was möchtest Du also wissen?

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Dankeschön, aber sorry bei C) ist nicht n1 sondern n/1 also n durch 1

Danke im Voraus

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die richtige ist 1/n

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Dann ist K nicht kompakt, weil K nicht abgeschlossen ist: 0 ist Häufungspunkt von K, liegt aber nicht in K

Answer 2

Noch eine Bemerkung zu c)

Da dies eher selten konkret vorgeführt wird, hier ein Beweis

der Nichtkompaktheit von \(K\) mit der Überdeckungseigenschaft:

Da \(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}\) ist, bilden die

offenen Intervalle \((\frac{1}{n}-\frac{1}{2n(n+1)},\; \frac{1}{n}+\frac{1}{2n(n+1)})\)

eine disjunkte offene Überdeckung von \(K\), die offenbar keine endliche

Teilüberdeckung besitzt.