Beweisen Sie mit dem verallgemeinerten Induktionsprinzip

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit dem verallgemeinerten Induktionsprinzip (indem Sie beim Induktionsanfang die
Behauptung für die ersten beiden Zahlen zeigen): Für alle x ∈ R+ und für jedes n ∈ N ∖ {0} gilt die
Ungleichung

xⁿ +x^n-1+x^n-4+...+1/x^n-4+1/x^n-2+1/xⁿ ≥ n+1

Problem/Ansatz:

Ich wollte heute noch diese Übung fertig machen, weiß aber gar nicht wie man diese Aufgabe löst.

Ich hoffe jemand von euch hat einen Lösungsvorschlag

Comments

Ich hoffe jemand von euch hat einen Lösungsvorschlag

Das setzt vermutlich eine präzise Darstellung der Behauptung voraus

---

"weiß aber gar nicht wie man diese Aufgabe löst." Da steht doch , was du machen sollst?

warum nicht dem Vorschlag folgen und erstmal für n=1 und 2 beweisen, daraus auf richtig für n und n+1 auf n+2 folgern.

lul

---

es ist unklar, was genau gezeigt werden soll! Könnte es so heißen:$$\begin{aligned}x^n + x^{n-1} + \dots x^{2} + x^{\color{red}1} \space + \space \frac{1}{x^{\color{red}1}} + \frac{1}{x^2}+ \dots +\frac{1}{x^{n-1}} + \frac{1}{x^n} &\ge n+1 \\ \sum\limits_{k=1}^n x^k \space + \sum\limits_{k=1}^n{x^{-k}} &\ge n+1\end{aligned}$$

---

Wäre das nicht zu trivial, weil mit a + 1/a  ≥  2  (Ungl. vom arithm. / geom. Mittel) doch sofort folgt, dass die linke Seite ≥ 2n also auch ≥ n+1 ist ?

---

Wäre das nicht zu trivial, ...

Na ja fast trivial, da kommen noch die Potenzen \(\gt 1\) dazu. Aber da soll wohl mal wieder die Induktion geübt werden

---

da kommen noch die Potenzen \(\gt 1\) dazu

ja selbstverständlich, aber es ist für a=x^2 eben auch x^2+1/x^2 ≥ 2 und für a=x^3 auch x^3+1/x^3 ≥ 2 und für a=x^4 ... und das soll "verallgemeinerte Induktion" sein ?

---

Es ist nicht klar, nach welcher Regel die Exponenten laufen sollen ... $$n, \space n-1, \space n-4, \space \dots 4-n, \space 2-n,\space -n$$das gibt nicht unmittelbar Sinn?

---

Genau das meinte ich mit meinem ersten Kommentar.

---

das gibt nicht unmittelbar Sinn?

Sinn ergibt es, wenn die Exponenten in Zweier-Schritten von n bis -n laufen.

---

x^n +x^{n-2}+x^{n-4}+...

Soll der zweite Exponent n-2 sein?

Answer 1

(indem Sie beim Induktionsanfang die Behauptung für die ersten beiden Zahlen zeigen)

Was kannst du daran konkret nicht? Nimm einfach mal n = 1 sowie n = 2 und schreibe dann die Behauptungen für diese beiden Zahlen auf. Warum spielt es keinen Unterschied, wenn man fordert x ≥ 1 statt x > 0 ? Kannst du jetzt zeigen, das diese Behauptungen wahr sind?