Zeigen Sie eine äquivalente Aussage

Question

Aufgabe:

4. Aufgabe Sei \( V \) ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum ausgestattet mit einem Skalarprodukt. Sei \( U \) ein Untervektorraum. Zeigen Sie:
(i) \( V=U \oplus U^{\perp} \).
(ii) Angenommen \( V=U+W \) und \( W \perp U \). Dann folgt \( W=U^{\perp} \).
Bemerkung: (i) impliziert insbesondere, dass in einem euklidischen \( \operatorname{Raum} \operatorname{dim} U^{\perp}= \) \( \operatorname{dim} V-\operatorname{dim} U \) für jeden Unterraum \( U \subset V \) gilt. …

Problem/Ansatz:

… Hi kann mir da jemand helfen eigentlich geht es hier nur um ii) wo ich Hilfe brauche

Answer 1

Das hatten wir schon. Schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/947960/zeigen-sie-sei-v-einvektorraum#c948047

und zu ii) vielleicht so:

(ii) Angenommen es gilt:

      \( V=U+W \) und \( W \perp U \).

==>  W ist Unterraum von U^⊥.

Beweis von \( W=U^{\perp} \) indirekt:

Wäre W nicht gleich U^⊥, dann gäbe es ein  w∈U^⊥ mit w∉W.

Wegen \( V=U+W \) und w∈V gibt es u∈U und w'∈W

           mit w=u+w'

 ==>   w-w' = u

==>  Skalarprodukte mit u wären auch gleich:

 ==>   < w-w' , u >  =  < u,u>

==>     < w, u >  - <w' , u >  =  < u,u>

Nun ist     < w, u >=0 wegen w∈U^⊥

und <w' , u > = 0 wegen w'∈W und \( W \perp U \)

==>  < u,u>      ==>    u=0, also w=w'

im Widerspruch zu w∉W und w'∈W .