Wie zeige ich dass man zusätzlich erreichen kann, dass die Diagonale nur Einträge −1, 0, 1 besitzt?

Question

Aufgabe:

Sei V ein reeller Vektorraum und q:V->R eine quadratische Form. Ich weiß aus der Vorlesung, dass es eine Orthogonalbasis gibt, bzgl. der die Gram-Matrix von q Diagonalgestalt hat. Wie zeige ich dass man zusätzlich erreichen kann, dass die Diagonale nur Einträge −1, 0, 1 besitzt?

Bin für jede Hilfe dankbar
Danke im voraus!

Answer 1

Sei \(v_1,\cdots,v_n\) eine Basis bzgl. derer die Gram-Matrix Diagonalgestalt

hat. Mache Basiswechsel \(v_i\mapsto v_i\), falls \(q(v_i)=0\),

\(v_i\mapsto 1/\sqrt{|q(v_i)|}\cdot v_i\), sonst.