Geographische Breite eines Ortes auf der Südhalbkugel mit einer bestimmten Eigenschaft

Question

Aufgabe:

"Ein Punkt auf der Erdoberfläche hat die folgende Eigenschaft: Geht man von ihm aus (auf dem Längenkreis) 500 km nach Süden, dann (auf dem Breitenkreis) 500 km nach Osten und dann wieder 500 km nach Norden, dann kommt man zum Ausgangspunkt zurück. Berechne die geographische Breite eines Ortes auf der Südhalbkugel mit dieser Eigenschaft. Gibt es noch Orte anderer Breite mit dieser Eigenschaft?"

Problem/Ansatz:

Ich setze so an. Ein Längenkreis hat den Umfang 6370 mal 2 π = 40.000 km. Dieser Umfang entspricht 360°. Bewege ich mich auf ihm 500 km nach Süden, so habe ich 1/80 dieser 360° = 4,5° zurückgelegt, das heißt, ich befinde mich nun auf einem Breitengrad, der um −4,5° vom Ausgangspunkt weiter südlich liegt.

Hier bleibe ich stecken, denn ich kenne weder den Breitengrad des Ausgangspunktes noch denjenigen, den ich nach 500 km = 4,5° Breite erreicht habe.

Die Lösung im Lösungsheft des Lehrbuchs bringt mir keine Klarheit. Sie lautet:

"cos φ (des Ortes, der nach 500 km auf dem gleichen Längengrad nach Süden erreicht ist) = 0,0125 / n.

n = 1:   φ = −89,3°

n = 2:   φ = −89,6° usw."

Ich verstehe zwar, dass  1/80 = 0,0125  der Kosinus von -89,3° ist, aber mit welcher Begründung ist das die Lösung für die geographische Breite des nach 500 km erreichten Ziels (und damit -84,8° Breite für den Ausgangspunkt)? Und warum gibt es mehrere Lösungen, die sich um 0,3° unterscheiden?

Answer 1

Bei den "500 km nach Osten" durchschreitet man alle Längengrade ein- oder mehrmals.

Comments

Den Radius der Erde und den Radius des Kreises mit 500 km Umfang habe ich blau eingezeichnet.

Und dann gibt es näher am Südpol noch Kreise mit 250 km Umfang, 166,667 km Umfang, 125 km Umfang usw.

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"Bei den "500 km nach Osten" durchschreitet man alle Längengrade ein- oder mehrmals."
Danke, das hilft mir ein gutes Stück weiter!

(Kann man das eigentlich so sagen? Geht man ab dem 250. km nicht genaugenommen nach Westen? Aber vielleicht ist das nur eine Spitzfindigkeit?)

Du sagst also, mit den 500 km nach Osten geht man einen Kreis mit 500 km Umfang (=  Radius 79,57 km) um, ja um welchen Punkt?
In der Aufgabe heißt es, zuerst geht man 500 km vom Ausgangspunkt X auf dem Längenkreis nach Süden! Das heißt doch, man geht stracks auf den Südpol zu und quert lediglich Breitenkreise. Mit den "500 km nach Osten" meinst du, wenn ich dich recht verstehe, vom Punkt Y aus, den man nach 500 km auf dem Längenkreis nach Süden erreicht hat, nun 500 km stracks auf dem Breitenkreis in Richtung Osten, also auf einem Kreis mit 500 km Umfang und 79,57 km Durchmesser, und kommt natürlich dann zum Ausgangspunkt Y nach 500 km Marsch zurück. Von dort aus geht man 500 km auf dem Längengrad wieder nach Norden und endet auf dem gesuchten Punkt X mit den beschriebenen Eigenschaften.

Ich bemühe mich nun, die Zeichnung zu verstehen. Die Strecke M-Y ist der Erdradius von 6370, die Strecke Z-Y der Radius des Breitenkreises, auf dem man 500 km im Kreis "nach Osten" geht, um bei Y wieder anzukommen. Da ich Umfang und Radius ϱ dieses Breitenkreises kenne, kann ich ihn mit der Formel ϱ = 2 π mal 6370 als den Breitenkreis -89,89° bestimmen.
Ist das soweit richtig?
Wo aber habe ich mir in der Zeichnung den ursprünglichen Ausgangspunkt X vorzustellen und wie berechne ich ihn?
Hier bin erstmal steckengeblieben und bitte um einen weiterhelfenden Tipp!

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Du hast dem Eisbären den Kopf abgeschnitten?

Er hat dem Eisbären den Kopf abgeschnitten!

Geht man ab dem 250. km nicht genaugenommen nach Westen?

Nein, man geht 500 km nach Osten und umrundet dabei die Erde einmal (oder zweimal, dreimal, viermal...) auf dem Breitengrad.

um, ja um welchen Punkt?

Um die Erdachse.

Bevor man nach Osten geht, geht man nach Süden. Du suchst als Ausgangspunkt also den Breitengrad, der 500 km nördlich liegt von dem, auf dem man die Erde umrundet.

Deine Formel kann ich gerade nicht nachvollziehen.

Umfang Kreis: 500 km

Radius: 500 km / (2 Pi) = 79,577... km

Breitengrad: 90° - arcsin(79,577 / 6371) = 89,28... ° S

500 km nördlich davon: 1 Breitengrad ist 2*Pi*6371 km / 360 ≈ 111,195 km und 1 km ist 360° / (2*Pi*6371) ≈ 0,008993216°

Den Ausgangspunkt habe ich auf meiner Skizze nun noch mit einem grünen X markiert. Er kann irgendwo auf jenem Breitengrad liegen.

Für die weiteren Lösungen: meine Formel mit Kreisumfang 250 km usw.

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Vielen Dank für die Hilfe, döschwo! Vor einigen Tagen stand ich noch vor dieser Aufgabe wie der Ochs vorm Scheunentor, nund glaube ich sie mit deiner Hilfe richtig gelöst zu haben und habe Aufgabe und Lösung hier noch einmal aufgeschrieben.

Ein Punkt auf der Erde hat folgende Eigenschaft. Geht man von ihm aus (auf dem Längenkreis) 500 km nach Süden, dann (auf dem Breitenkreis) 500 km nach Osten und dann wieder 500 km nach Norden, dann kommt man zum Ausgangspunkt zurück. Berechne die geographische Breite eines Ortes auf der Südhalbkugel mit dieser Eigenschaft.
Was mir erst mit Hilfe von Mathelounge klar wurde: dass man von einem Punkt auf einem unbekannten Breitenkreis aus auf dessen Längenkreis 500 km nach Süden geht. Wenn man nun auf dem Breitenkreis nach Osten geht, so umrundet man die Erdachse bzw. den Südpol und kommt nach 500 km auf dem gleichen Längenkreis an, auf dem man von Norden gekommen ist. Man ist also in einem Kreis gegangen, dessen Umfang 500 km ist. Auf welchem Breitenkreis mit dem Radius ϱ bin ich also gegangen? Hier hilft die Formel 2 r π mal cos φ = ϱ. Durch Umstellung ergibt sie: cos φ = ϱ / 2 r cos φ. Das ergibt für den Radius ϱ den Wert 79,75 km. Welcher Breitenkreis hat einen Radius von 79,75 km? Wieder hilft jene Formel: 79,75 = 2 r π mal cos φ. Umgestellt: cos φ = 79,75 / 2 r π. φ ist also 89,88°. Auf diesem Breitenkreis wurden also die 500 km nach Osten zurückgelegt.
Welcher Breitenkreis liegt nun 500 km weiter nördlich? Mit anderen Worten, wieviel Breitengrade muss ich queren, mich auf dem Längengrad nach Norden bewegend, um zum Ausgangspunkt zurückzukommen? Ein Längengrad hat einen Umfang von 40.000 km und wird von 2 mal 180 Breitenkreisen geschnitten. Die Entfernung zwischen zwei Breitengraden beträgt also 40.000 / 360 = 111,11 km. Eine Entfernung von 500 km auf einem Breitengrad bedeutet also eine Differenz von 500 / 111,11 = 4,5°. Der Breitengrad des Ausgangspunktes ist also um 4,5° nördlicher als der Breitengrad, auf dem 500 km nach Osten gegangen wurde, er hat also 89,88°−4,5°=85,38° südlich.

Der kopflose Eisbär tat mir sehr leid, aber hier ist er nun, geheilt!

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Hallo, ich bin einverstanden mit Deiner Beschreibung der Wanderroute, allerdings nicht mit dem Breitengrad 89,88°, sondern komme auf das, was die Musterlösung angibt und ich weiter oben vorgerechnet habe. Die ca. 4,5° kann ich auch bestätigen. Der Bär dankt für die Wiederbelebung.

Und dann gibt es natürlich noch beliebig viele weitere Breitengrade, weiter südlich, auf der man den Südpol mit einem 500-km-Marsch 2, 3, 4 usw. mal umrunden kann. Danach wurde im letzten Satz der Aufgabe gefragt.