Richtige Bedingte Wahrscheinlichkeit auswählen

Question

Aufgabe:

Seien  A,B,Ai,Bi ⊂ Ω Ereignisse mit positiven Wahrscheinlichkeiten. Markieren Sie alle richtigen Formeln:

[ ]    P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B), falls A1, A2 disjunkt sind

[ ]    P(A| B1∪B2 )=P(A|B1)+P(A|B2), falls B1, B2 disjunkt sind

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe Schwierigkeiten mir etwas unter diesen Wahrscheinlichkeiten P(A| B1∪B2 ),  P(A1∪A2|B) was darunter vorzustellen. Ich habe schon versucht, mit Hilfe eines Baumdiagramms das visuell darzustellen, jedoch werde ich nicht weiter daraus schlau und kann deshalb die obige Aufgabe nicht lösen.

Comments

Ein Sportverein veröffentlicht seine Mitgliederzahlen :

	Kinder	Jugendl.	Erwachs.	Gesamt
Männlich	30	40	80	150
Weiblich	20	10	70	100
Gesamt	50	50	150	250

Überlege dir, was in der ersten Aufgabe als A1, A2, B passt und rechne die Wahrscheinlichkeiten links und rechts aus.

Überlege dir, was in der zweiten Aufgabe als A, B1, B2 passt und rechne die Wahrscheinlichkeiten links und rechts aus.

Verallgemeinere den Rechenweg, falls nötig.

Answer 1

Wenn \(A_1\cap A_2=\varnothing\), dann auch \((A_1\cap B)\) und \((A_2\cap B)\), da \((A_1\cap B)\cap (A_2\cap B)=\varnothing\). (Assoziativität + Kommutativität ausnutzen).

Es gilt daher:$$P(A_1\cup A_2|B)=\frac{P((A_1\cup A_2)\cap B)}{P(B)} \\ =\frac{P((A_1\cap B)\cup (A_2\cap B))}{P(B)}=\frac{P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)}{P(B)}=P(A_1|B)+P(A_2|B)$$

Bei b) gehst du analog vor:$$P(A|B_1\cup B_2)=\frac{P(A\cap (B_1\cup B_2))}{P(B_1\cup B_2)}$$ Versuch das mal weiter auszuführen ... Dann solltest du sehen, ob es falsch oder wahr ist. :) Achte auf den Nenner ...

Comments

Danke, den obigen Ansatz hab ich verstanden. Ich bin bei b) genauso vorgegangen, komme jedoch an dem Punkt nicht weiter, bei dem ich die zwei Summanden in eine bedingte Wahrscheinlichkeit zurückverwandeln will. Somit, bedeutet dies bei b), dass die obige Aussage P(A| B1∪B2 )=P(A|B1)+P(A|B2), falls B1, B2 disjunkt sind, falsch ist?

Text erkannt:

\( \begin{aligned} P\left(A \mid B_{1} \cup B_{2}\right) &=\frac{P\left(A \cap\left(B_{1} \cup B_{2}\right)\right)}{P\left(B_{1} \cup B_{2}\right)} \\ &=\frac{P\left(\left(A \cap B_{1}\right) \cup\left(A \cap B_{2}\right)\right)}{P\left(B_{1} \cup B_{2}\right)} \\ &=\frac{P\left(A \cap B_{1}\right)}{P\left(B_{1} \cup B_{2}\right)}+\frac{P\left(A \cap B_{2}\right)}{P\left(B_{1} \cup B_{2}\right)} \end{aligned} \)

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Jap, die Rechnung sieht gut aus. Man könnte halt wegen der Disjunktheit noch P(B₁UB₂)=P(B₁)+P(B₂) jeweils schreiben, aber man sieht es auch schon so, das haut nicht hin.