Bedingte Wahrscheinlichkeit für die richtige Farbe

Question

Aufgabe:

In einer Urne liegt ein Ball, welcher entweder die Farbe rot oder blau hat. Personen werden zufällig nach der Farbe gefragt. 2/3 kennen die Farbe nicht, geben aber zu 3/4 die richtige Antwort. Die restlichen Befragten kennen die Farbe, geben aber immer die falsche Antwort. Was ist die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel, wenn die erste Person blau sagt? Was, wenn die ersten zwei blau sagen?

Problem/Ansatz:

Ich benutze hier Bayes. Für

P(erste Person sagt blau | blau) = 2/3 · 3/4 = 1/2

P(erste Person sagt blau | rot) = 2/3 · 1/4 + 1/3 = 1/2

P(blau | erste Person sagt blau) = P(blau)

Ist meine Rechnung richtig? Und wie gehe ich vor, wenn 2 Personen befragt werden?

Comments

Wie sieht dein Baumdiagramm aus?

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kF = kennt Farbe

P(kF) = 1/3

- P(Kugel ist blau | kF) = P(Kugel ist blau)

— P(sagt blau | Kugel ist blau ∩ kF) = 0

— P(sagt rot | Kugel ist blau ∩ kF) = 1

- P(Kugel ist rot | kF) = 1- P(Kugel ist blau)

— P(sagt blau | Kugel ist rot ∩ kF) = 1

— P(sagt rot | Kugel ist rot ∩ kF) = 0

Das selbe auch für nicht kF

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Wenn jemand nochmal über die Aufgabe schauen würde wäre das toll. Vor allem über Hilfe, wie ich bei zwei befragten Personen vorgehen kann, würde ich mich freuen. Danke.

Answer 1

Von der Rechnung hier ist das ja nicht Bayes. Aus

P(erste Person sagt blau | blau) = 2/3 · 3/4 = 1/2
P(erste Person sagt blau | rot) = 2/3 · 1/4 + 1/3 = 1/2

begründest du die Unabhängigkeit und aus der Unabhängigkeit folgt

P(blau | erste Person sagt blau) = P(blau)

Übrigens gehst du davon aus, dass wenn eine rote oder eine blaue Kugel in der Box liegt, beides mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 eintritt. Was ist, wenn der Befüller der Box nun ein Faible für rote Kugeln hat und öfter eine rote Kugel plaziert?

Wenn übrigens das Ereignis, dass die erste Person blau sagt, von der Farbe der Kugel unabhängig ist, dann ist auch die genannte Farbe der zweiten Person unabhängig von der Farbe der Kugel und dann sollte die gefragte bedingte Wahrscheinlichkeit auch wieder 1/2 sein.