Bestimmung der kritischen Punkte einer Funktion

Question

Gegeben ist f(x,y) = x⁶+2x⁴-8x²y²+2y⁴
Gesucht sind die kritischen Punkte.

Zuerst habe ich die partiellen Ableitungen bestimmt:
f_x(x,y) = 6x⁵+8x³-16xy²
fy(x,y) = -16x²y+8y³

Offensichtlich ist der Punkt (0,0) ein kritischer Punkt.
Weiter betrachten wir fx(x,y) = 6x5+8x³-16xy² = 8y(y²-2x²)

=> Alle kritischen Punkte sind in der Form (\( \sqrt{2} \)x  , x)

Nun einsetzen in 6x⁵+8x³-16xy² = 6x⁵+8x³-32x³ = 2x³(3x²+8+32) = 2x²(3x²-24)

Somit dann 3x²-24 = 0 => x² = 8 => x = \( \sqrt{8} \)

Somit folgt, dass (\( \sqrt{8} \) , \( \sqrt{4} \) ) und (0,0) die kritischen Punkte sind.

Soweit mein Ergebnis, nur es ist falsch, denn wenn ich die einsetzen, dann bekomme ich nicht 0 heraus.

Deshalb meine Frage: Wo mache ich einen Fehler?

Answer 1

Hallo

Dein Rechenweg ist richtig, aber aus fy =0 folgt y=√2*x damit Kandidat( x,√2*x)

zum Teil setzt du das dann auch in f_x ein  und hast  richtig x=√8 raus damit denn y=4 nicht √4

Gruß lul

Comments

Vielen Dank, da bin ich wohl etwas durcheinander gekommen.