Was ist die geometrische Bedeutung der Abbildung f(z) = i z?

Question

Aufgabe:

Beantworten Sie folgende Fragen zu komplexen Zahlen:

- Was ist die geometrische Bedeutung der Abbildung \( f(z)=i z \) ?
a) Spiegelung an der Re-Achse
b) Spiegelung an der Im-Achse
c) Drehung um \( \pi / 2 \) im Uhrzeigesinn
d) Drehung um \( \pi / 2 \) gegen Uhrzeigesinn

Problem/Ansatz:

Kann man mir helfen bitte ?

Answer 1

Bei einer Multiplikation zweier komplexer Zahlen werden die Argumente addiert und die Beträge multipliziert.

Was ist die geometrische Bedeutung der Abbildung \( f(z)=i z \) ?

Was ist denn das Argument von \(i\)?

Answer 2

Hallo,

Kann man mir helfen bitte ?

Die Frage hier ist, wobei genau? Du weißt, dass man eine komplexe Zahl \(z\) in der sogenannten Gaußschen Zahlenebene einzeichnen kann - oder?

Dann nehme Dir doch mal eine Zahl z.B. \(z=2+1\cdot i \). Das entspricht einem Punkt an den Koordinaten \((2,\,1)\), den man in die Ebene einzeichnet. Dann multipliziere die Zahl \(z\) mit \(i\) und zeichne das Ergebnis ebenfalls ein. Verbinde dann noch die beiden Punkte mit dem Ursprung des Koordinatensystems.

Mache das für weitere Punkte, was fällt Dir auf?

Ich habe das für Dich in Desmos eingegeben:

https://www.desmos.com/calculator/n21dihojkb

den schwarzen Punkt \(z\) kannst Du mit der Maus bewegen. Der grüne Punkt ist dann \(f(z)\).

Gruß Werner

Answer 3

Hallo,

da eine Antwort richtig sein soll, helfen hier einfache Beispiele.

z=1 → iz=i

z=i → iz=-1

z=-1 → iz=-i

Skizziere ein Achsenkreuz, zeichne die Zeigerpaare ein und dann siehst du es.

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Außerdem:

a) Spiegelung an der Re-Achse

z=1 → w=1

b) Spiegelung an der Im-Achse

z=1 → w=-1

c) Drehung um \( \pi / 2 \) im Uhrzeigesinn

z=1 → w=-i

d) Drehung um \( \pi / 2 \) gegen Uhrzeigesinn

z=1 → w=i

:-)