f(x) = 3 + x√(1 + 4/x^2): Begründen Sie, warum f auf ℝ \ {0} stetig ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion
f : ℝ \ {0} → ℝ, x ↦ 3 + x√(1 + 4/x²) .
Begründen Sie, warum f auf ℝ \ {0} stetig ist. Untersuchen Sie, ob f sich zu einer auf
ganz ℝ stetigen Funktion fortsetzen lässt.

Problem/Ansatz:

0 ist hier offensichtlich der Häufungspunkt.
Man kann f(x) auch anders aufschreiben:

3 + x√(1 + 4/x^2)  = 3 + x√(x^2+4)
Lässt man x gegen 0 laufen bekommt man 3+2=5
Ist also deswegen f stetig?
Den zweiten Teil der Aufgabe verstehe ich nicht ganz. Wäre für Hilfe dankbar.

Answer 1

\( f(x) = 3 + x * \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}} \)

f(x) ist stetig auf ℝ\0, da sich f(x) aus auf ℝ\0 stetigen Funktionen zusammensetzt.

Sei x > 0:

\( f(x) = 3 + \sqrt{x^2 + 4} → \lim\limits_{x\to0_+} f(x) = 5 \)

Sei x < 0:

\( f(x) = 3 - \sqrt{x^2 + 4} → \lim\limits_{x\to0_-} f(x) = 1 \)

Deshalb ist f(x) nicht auf ganz ℝ stetig fortsetzbar. Das wäre nur dann möglich, falls

\( \lim\limits_{x\to0_+} f(x) = \lim\limits_{x\to0_-} f(x) \)