Funktionsgleichung des Graphen mit Sattelpunkt im Ursprung

Question

Eine Funktion ist monoton fallend und ihr Graph hat den Sattelpunkt S (0/0). Wie bestimme ich die Funktion?

Comments

Die einfachste Funktion ist hier f(x) = - x³ . Aber das ist bei Weitem nicht die einzige solche Funktion. Brauchst du hier alle oder einfach Beispiele?

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Alle aufzuzählen wäre etwas mühsam denke ich.

Bei solchen Fragen sollte man einfach davon ausgehen, dass eine möglichst einfache Funktion gefragt ist, die diese Bedingungen erfüllt. Und das ist wie Lu richtig gesagt hat -x^3.

Also ich hätte ebenso wie Lu geantwortet mit dem Hinweis, dass das jetzt die einfachste der Funktionen ist.

Answer 1

Ok. Dann schreibe ich hier mal.

Die einfachste Möglichkeit ist 

y = - x³

Man weiss vielleicht, dass ab Polynomen 3. Grades Sattelpunkte auftreten können und dass y = x³ einen Sattelpunkt in (0/0) hat. Nun muss aber die Funktion monoton fallend sein. 

Man spiegelt an der y-Achse und bekommt y  = - x³ als Resultat.

Allg. muss gelten

f(0)=0

f ' (0) = 0

f '' (0) = 0

Kein Vorzeichenwechsel an der Stelle 0 bei der 1. Ableitung.

 

Answer 2

Genauer gesagt sind die Lösungen alle Funktionen, die die folgenden Bedingungen erfüllen:

f'(x) ≤ 0 für alle x

f(0) = 0

f'(0) = 0

f''(0) = 0

 

Man könnte zunächst vermuten, dass noch dazukommt, dass die erste Ableitung, die nicht verschwindet eine ungerade Ableitung ist (sonst könnte im Nullpunkt noch ein Extrempunkt vorliegen) allerdings wird das schon durch die Forderung der Monotie erfüllt.

Lösungen sind insbesondere alle ungeraden Polynome mit nur einem Term, also z.B.

-x³, -x⁵, -x⁷, ...

 

Die "einfachste Lösung" ist aber meiner Meinung nach die Nullfunktion f(x) = 0.

Comments

Lösung Nullfunktion ist falsch, da diese Funktion keinen Sattelpunkt hat.

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Das ist wohl Definitionssache.

Ich habe gelernt, dass ein Sattelpunkt als Wendepunkt mit senkrechter Tangente und ein Wendepunkt als Punkt (x₀, f(x₀)) mit der Eigenschaft:
f(x) ist konkav für x<x₀ und konvex für x>x₀
oder
f(x) ist konvex für x<x₀ und konkav für x<x₀

definiert ist.

Da jede lineare Funktion überall konvex und konkav ist, wäre damit jeder Punkt ein Wendepunkt. Für konstante Funktionen wäre demnach jeder Punkt ein Sattelpunkt.

Zumindest Wikipedia verwendet ein exklusives Oder, dann wäre das nicht mehr so, allerdings führt das zu der unschönen Folge, dass die gewöhnliche hinreichende Bedingung

f'(x) = 0, f''(x) = 0, f'''(x) ≠ 0

nur noch dann hinreichend ist, wenn man konstante Funktionen explizit ausschließt.

Da das kaum eine wirklich relevante Frage ist, bleibt das wohl jedem selbst überlassen, da aber konstante Funktionen an jeder Stelle Maxima und Minima besitzen, ist der Schritt für mich nicht besonders weit, ihr auch an jeder Stelle einen Sattelpunkt zuzusprechen :-)