Zeige dass die Funktion ein Minimum bestitz

Question

Sei P ein Polynom auf ℝ^d, das mindestens einen negativen Wert annimmt.

(a) Zeige, dass die Funktion ein Minimum besitz.

Answer 1

Hallo,

es sei

$$f(x):=\frac{P(x)}{\exp(\|x\|^2)} \quad \text{ und } f(a)=w<0$$

Ich setze als bekannt voraus, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als jedes Polynom, also \(f(x) \to 0\) für \(x \to \pm \infty\). Also existiert \(r>0\) mit

$$\|x\|>r \Rightarrow f(x)>w$$

Auf der Menge \(D:=\{x\mid \|x\| \leq r\}\) nimmt f ein Minimum an, sagen wir mit f(b)=v. Weil \(a \in D\), ist \(v \leq w\) und b ist globales Minimum.

Gruß Mathhilf