Zeigen Sie, dass dann fol- gende Aussagen äquivalent sind:

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ Matn(R) eine symmetrische Matrix. Zeigen Sie, dass dann fol- gende Aussagen äquivalent sind:
(i) A ∈ O(n). (ii) A^2 = 1n.
(iii) Für jeden Eigenwert λ von A gilt λ ∈ {±1}.

Problem/Ansatz:

Hättet ihr vielleicht eine Idee danke …

Answer 1

\(A\in O(n)\iff A^TA=1_n\). Da \(A\) symmetrisch ist, ist dies äquivalent

zu \(A^2=1_n\). Hieraus folgt, dass \(A\) eine Nullstelle des Polynoms

\(X^2-1\) ist. Da das Minimalpolynom von \(A\) ein Teiler dieses

Polynoms ist, sind die einzigen Eigenwerte von \(A\) Nullstellen

von \(X^2-1\), liegen also in \(\{\pm 1\}\).

Wenn die Eigenwerte in \(\{\pm 1\}\) liegen, nutze die

Tatsache, dass reelle symmetrische Matrizen diagonalisierbar sind,

um zu zeigen, dass \(A^2=1_n\) ist.