Bestimmen Sie mit der Langrange-Methode die Seitenlängen x,y,z Rechteck

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

b) Ein oben offener rechteckiger Behälter soll das Volumen \( V=10000 \mathrm{~cm}^{3} \) Haben. Bestimmen Sie mit der Langrange-Methode die Seitenlängen x,y,z so, dass die Oberfläche und somit der Materialverbrauch für den Behälter minimal wird. Den Nachweis des Minimums müssen Sie nicht erbringen

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

2eltunktion:
\( f(x, y, 2)=2 \cdot y \cdot z+2 \cdot x \cdot 2+y \cdot x \)
Nesentunktion:

Text erkannt:

\( g(x, y, 2)=x y \cdot 2-70000=0 \)

Text erkannt:

\( L(x, y, 21 / 1)=2 \cdot y \cdot 2+2 \cdot x \cdot 2+y \cdot x+\lambda(x \cdot y \cdot 2-10000)=0 \)

Text erkannt:

\( 1 L_{x}(x, y, 2 \lambda=22+y+\lambda \cdot y \cdot 2=0 \)
\( 11 L_{y}(x, y, 2, \lambda)=2 z+x+\lambda \cdot x \cdot 2=0 \)
\( 11 L z(x, y, 2, \lambda)=2 y+2 x+\lambda \cdot x \cdot y=O \)
\( 1 V L \lambda((x, y, 2, \lambda)=x \cdot y \cdot 2-10000=0 \)

Eigentlich muss ich hier nur noch die Variablen lösen, aber ich komme auf keinen richtigen Ansatz

Answer 1

Wenn man die ersten beiden Gleichungen voneinander

subtrahiert und etwas umformt

               (y-x) * (1+λz) = 0

hat man 2 Fälle zu betrachten

1. Fall   x=y          2. Fall λ= -1/z .

Damit müsste es klappen.

Answer 2

Ein oben offener rechteckiger Behälter soll das Volumen \( V=10000 \mathrm{~cm}^{3} \) Haben. Bestimmen Sie mit der Langrange-Methode die Seitenlängen x,y,z so, dass die Oberfläche und somit der Materialverbrauch für den Behälter minimal wird. Den Nachweis des Minimums müssen Sie nicht erbringen.

\(O(x,y,z,λ)=x*y+2*x*z +2*y*z+λ*(x*y*z-10000)\)

\(\frac{dO(x,y,z,λ)}{dx}=y+2*z +λ*y*z\)

1.) \(y+2*z +λ*y*z=0\)

\(\frac{dO(x,y,z,λ)}{dy}=x+2*z+λ*x*z\)

2.)\(x+2*z+λ*x*z=0\)

\(\frac{dO(x,y,z,λ)}{dz}=2*x+2*y+λ*x*y\)

3.)\(2*x+2*y+λ*x*y=0\)

\(\frac{dO(x,y,z,λ)}{dλ}=x*y*z-10000\)

4.)\(x*y*z-10000=0\)

Das sind nun 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten.