Zeigen Sie: Langrange-Polynome

Question

Aufgabe:

\( \mathrm{Zu} x_{0}<\cdots<x_{N} \in \mathbb{R} \) definieren wir für \( n \in\{0, \ldots, N\} \) das \( n \)-te LagrangePolynom \( L_{n} \in \mathbb{P}_{N} \) durch

\( L_{n}(x)=\prod \limits_{j=0, j \neq n}^{N} \frac{x-x_{j}}{x_{n}-x_{j}} \)

Zeigen Sie:

(a) \( L_{n}\left(x_{m}\right)=\delta_{n m}:=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { falls } m=n \\ 0, & \text { falls } m \neq n\end{array}\right. \)

(b) \( p(x)=\sum \limits_{n=0}^{N} p\left(x_{n}\right) L_{n}(x) \) für \( p \in \mathbb{P}_{N} \).

(c) \( \left\{L_{0}, \ldots, L_{N}\right\} \) ist eine Basis von \( \mathbb{P}_{N} \).

Leider klappt bei mir nichts, ich verstehe einfach nicht, was ich hier überhauot machen kann :(

Ich freue mich über jede Hilfe, das ist die einzige Aufgabe, die mir fehlt :(

Answer 1

Mach dir doch ein einfaches Beispiel etwa mit 4 Werten xo, x1, x2 , x3

etwa 2, 5, 6, 9 . Die sollen ja aufsteigend geordnet sein.

Dann ist \(  L_1(x)= \frac{(x-5)(x-6)(x-9)}{(2-5)(2-6)(2-9)}   \)

Wenn man da nun x=2 einsetzt steht oben das gleiche wie unten, also hat der

Bruch den Wert 1.

Für jedes andere x1, x2 , x3 hat man bei einer der Klammern im Zähler eine 0.

Deshalb \( L_{n}\left(x_{m}\right)=\delta_{n m}:=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { falls } m=n \\ 0, & \text { falls } m \neq n\end{array}\right. \)

b)  Die Summe liefert jedenfalls ein Polynom, das den gleichen Grad hat wie p

und für x ∈ \( \{ x_{0}, \cdots, x_{N} \} \) mit p übereinstimmt. Also sind sie gleich.

c) Die Anzahl stimmt und bei b) hast du ja schon gezeigt,

dass es ein Erzeugendensystem ist.