Anfgangswertproblem für x ∈ [0, 1)

Question

Aufgabe:

Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem für \( x \in[0,1) \) :
\( \begin{aligned} y^{\prime}(x) &=\frac{y(x)}{(x-1)}+3(x-1)^{4}, \\ y(0) &=0 . \end{aligned} \)

Problem/Ansatz:

Wie würde das gehen?

Answer 1

Hallo,

Lösung via Variation der Konstanten:

y' =y/(x-1) + 3(x-1)^4 | - y/(x-1)

y' -y/(x-1) = 3(x-1)^4

1.) homogene Gleichung: y' -y/(x-1) =0 ->Lösung via Trennung der Variablen

dy/dx= y/(x-1)

dy/y= dx/(x-1)

yh= C₁ (x-1)

2.) Setze C₁=C(x)

yp= C(x) * (x-1)

yp'= C'(x) (x-1) +C(x) *1 Produktregel

yp'= C'(x) (x-1) +C(x) 

3. Einsetzen in die DGL (yp' und yp) ->C(x) muß sich aufheben

C'(x) (x-1)= 3 (x-1)^4

C'(x) = 3 (x-1)^3

4.C(x) = (3/4) * (x-1)^4

5. yp= C(x) (x-1)= (3/4) * (x-1)^5

6.y=yh+yp = C₁ (x-1) +(3/4) * (x-1)^5

7.Einsetzen der AWB in die Lösung , y(0)=0

y= C₁ (x-1) +(3/4) * (x-1)^5

0=C₁ (-1) +(3/4) * (0-1)^5

0= -C₁ -3/4

C₁= -3/4

------->endgültige Lösung: y= (-3/4) (x-1) +(3/4) * (x-1)^5

(kann noch vereinfacht werden, falls verlangt)