Integral e^-t*x dt = 1/x

Question

Aufgabe:

für alle x>0 soll ich zeigen das gilt :

\( \int \limits_{0}^{\infty} e^{-x*t}dt = \frac{1}{x} \)

Hilfe wäre super

Answer 1

f(t) = e^{- x·t}

F(t) = - 1/x·e^{- x·t}

∫ (0 bis ∞) f(t) dt = F(∞) - F(0) = - 1/x·e^{- x·∞} - (- 1/x·e^{- x·0}) = - 1/x·0 - (- 1/x·1) = 0 + 1/x = 1/x

Ich habe in der letzten Zeile einen formalen Fehler gemacht. Du weißt welchen, oder? Ich habe das aber nur gemacht, damit es klar ist wie es gemacht wird.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\int\limits_0^\infty e^{-xt}dt=\lim\limits_{T\to\infty}\left(\int\limits_0^T e^{-xt}dt\right)=\lim\limits_{T\to\infty}\left(\left[\frac{e^{-xt}}{-x}\right]_{t=0}^T\right)=\lim\limits_{T\to\infty}\left(\frac{e^{-xT}}{-x}-\frac{e^0}{-x}\right)$$$$\phantom{\int\limits_0^\infty e^{-xt}dt}=\lim\limits_{T\to\infty}\left(-\frac{e^{-xT}}{x}+\frac{1}{x}\right)=-\frac{0}{x}+\frac1x=\frac1x$$

Answer 3

Hallo,

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Comments

Hallo an alle willfährigen Komplettlöser:

hätte es nicht für den Anfang ausgereicht, den Fragesteller nach der Stammfunktion zu befragen?

Vielleicht hätte er die hinbekommen.