Differentialgleichungen — Trennung der Variablen

Question

Aufgabe: Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem. Falls Sie die Schmierrechnung verwenden, so müssen Sie eine Probe machen.$$y′(t) = \left(1+ \frac{y(t)}{t}\right)^2 − \frac{y(t)}{t}, \quad t \in(e^{−3π/4},e^{π/4}),\quad y(1) = 1$${ y′(t)=(1+ (y(t)/t)^2 − y(t)/t, t ∈(e−3π/4,eπ/4),  y(1) = 1.

Nutzen Sie die Substitution z(t) = y(t)/t , um die gegebene Differentialgleichung auf eine Differentialgleichung für z
zurückzuführen. Ein Blick auf die Ableitung des Arkustangens könnte ebenfalls hilfreich sein.

Comments

Das ist eine linke Klammer zu viel in der DGL. Wie heißt sie genau?

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ah, ich habe es falsch geschrieben, ^2 muss nach den klammern eigentlich stehen..

oder meinen Sie diese - { ?

   y′(t)=(1+ (y(t)/t))^2 − y(t)/t, t ∈(e−3π/4,eπ/4),

{

   y(1) = 1.

aber weiss nicht, wie kann ich das besser hier schreiben

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oder meinen Sie diese - { ?

ich meine die, die ich oben rot markiert hatte, also die linke Klammer direkt hinter \(y'(t)={\color{red}(}\dots\)

ah, ich habe es falsch geschrieben, 2 muss nach den klammern eigentlich stehen.

also so?$$y′(t) = \left(1+ \frac{y(t)}{t}\right)^2 − \frac{y(t)}{t}$$

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ja, genau! beim Schreiben habe einbisschen verwirrt

Answer 1

Hallo

Die Anweisungen zum Lösen sind so klar, dass es schwer ist etwas zuzufügen

bilde z' ersetze y' durch  z' nach umrechnen, dann hast du ne einfache Dgl für z die durch Trennung der Variablen und " Ein Blick auf die Ableitung des Arkustangens! leicht gelöst werden kann.

sonst sage, wo deine Schwierigkeiten denn auftreten.

Gruß lul

Comments

hallo! danke für deine antwort :)

ich verstehe nicht ganz, wie man bekommt das: z′(t) = (y′(t)·t−y(t))/t^2

und daraus bekommt folgendes: y′(t) = (t^2·z′(t) + y(t))/t = t·z′(t) + z(t)

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Hallo

z=y*1/t ableiten nach Produktregel:z'=y'*1/t-y/t^2  multipliziere mit t  dann z'*t=y'-y/t also y'=z'*t+z  einsetzen in die Dgl  (bei dir wurde nach der umständlicheren Quotientenregel abgeleitet)

z'*t+z=1+z^2-z,  daraus z'*t=1+z^2-2z also z*t=(1-z)^2

und damit kommst du hoffentlich weiter

Schreib nächstes mal direkt, was du nicht verstehst und nicht so allgemein.

Gruß lul

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danke! ich verstehe jetzt besser. sorry, dass ich es so allgemein geschrieben habe, habe zum ersten mal so was im forum gefragt

Answer 2

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

danke! ich verstehe jetzt besser. sorry, dass ich es so allgemein geschrieben habe, habe zum ersten mal so was im forum gefragt

kein Problem. Jetzt hast Du aber alle Infos zusammen. Wenn Du das einsetzt und ausrechnest, sollte dann nach der Trennung der Veränderlichen, dies heraus kommen:$$\frac{1}{1+z^2}\,\text dz = \frac{1}{t}\,\text dt $$mit der Lösung$$y = t \cdot \tan(\ln(t)+C) $$und mit \(y(1)=1\) wird \(C\) zu \(C=\pi/4\).

Stimmen die Grenzen für \(t\), so wie ich es geschrieben habe? Dann sieht die Funktion so aus:

https://www.desmos.com/calculator/o7fdbg0kay

Den Punkt kann man verschieben, die grüne Strecke zeigt die lokale Steigung \((y')\) aus der DGL an.

Falls noch was unklar ist, so melde Dich bitte.

Gruß Werner