Bestimmen Sie jeweils die Verteilung

Question

Gegeben seien zwei unabhängige Zufallsvariablen X1 und X2 mit den folgenden
Verteilungen:
P({X1 = 0}) = 0.4, P({X1 = 1}) = 0.3, P({X1 = 2}) = 0.2, P({X1 = 3}) = 0.1,
P({X2 = 0}) = 0.4, P({X2 = 1}) = 0.4, P({X2 = 2}) = 0.2.
Bestimmen Sie jeweils die Verteilung der Zufallsvariablen
(i) U := X1 + X2,
(ii) V := X1 · X2,
(iii) W := max{X1, X2},
also z.B. für (i) die Wahrscheinlichkeiten P({U = k}) für k ∈ R

Answer 1

1) Überlege, welche Werte die neuen Zufallsvariablen annehmen können.

2) Überlege, auf welche Weise diese Werte angenommen werden können, also welche Werte \(X_1\) und \(X_2\) dafür annehmen müssen.

3) Berechne dann unter Ausnutzung der Unabhängigkeit die Wahrscheinlichkeiten für die Werte.

Beispiel zu i):

\(U\) kann die Werte aus der Menge \(\{0;1;2;3;4;5\}\) annehmen.

Es ist zum Beispiel \(P(U=0)=P(X_1+X_2=0)=P(X_1=0,\,X_2=0)\stackrel{Unab.}{=}P(X_1=0)\cdot P(X_2=0)=0,4\cdot 0,4=0,16\).

Alle anderen Fälle funktionieren analog.