Aloha :)
Die Tangentialebene entspricht der linearen Taylor-Entwicklung:$$z=t(x;y)=f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\binom{x-x_0}{y-y_0}$$
Hier ist als Entwicklungspunkt \((x_0;y_0,z)=(0;-1;-1)\) gegeben. Lass dich durch die dritte \(z\)-Koordinate nicht stören, das ist der Funktionswert an der Stelle \(f(x_0;y_0)\), also das \(z=f(x_0;y_0)\).
Wir benötigen also:$$f(x;y)=e^x(x+y^2+2y)\implies f(0;-1)=-1$$$$\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{e^x(x+y^2+2y)+e^x}{e^x(2y+2)}=\binom{xe^x+(y+1)^2e^x}{2e^x(y+1)}\implies \operatorname{grad} f(0;-1)=\binom{0}{0}$$
Da der Gradient verschwindet, ist die Darstellung der Tangentialebene überschaubar:$$E\colon\;z=-1$$Die Tangentialebene verläuft also parallel zur \(xy\)-Ebene auf der Höhe \(z=-1\).
