der Aufgaben richtig gelöst werden muss?

Question

Aufgabe:

Aufgabe:

Eine Multiple-Choice-Klausur besteht aus 6 Aufgaben. Bei jeder Aufgabe gibt es 4
Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils genau eine richtig ist.
Ein Studierender hat sich nicht vorbereitet und kreuzt bei jeder Aufgabe rein zufällig eine
Antwort an.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht er die Klausur, wenn hierfür mindestens die Hälfte
der Aufgaben richtig gelöst werden muss?

Problem/Ansatz:

Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht er die Klausur, wenn hierfür mindestens die Hälfte der
Aufgaben richtig gelöst werden muss?

kann mir jemand dies bitte genau mit rechenweg erklären, ich versteh diese aufgabe leider gar nicht...

Answer 1

Baumdiagramm mit sechs Ebenen, eine für jede Frage.

Dann die üblichen Regeln für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mittels Baumdiagrammen anwenden.

Answer 2

Aloha :)

Die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort ist \(p=\frac14\). Es gibt \(n=6\) Aufgaben. Zum Bestehen müssen mindestens 3 Aufgaben richtig gelöst werden. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) zum Bestehen durch Raten ist daher:$$P=\sum\limits_{k=3}^6\binom{6}{k}\cdot\left(\frac14\right)^k\cdot\left(\frac34\right)^{6-k}=\sum\limits_{k=3}^6\binom{6}{k}\cdot\frac{1^k\cdot3^{6-k}}{4^6}=\frac{1}{4^6}\sum\limits_{k=3}^6\binom{6}{k}\cdot3^{6-k}$$$$\phantom P=\frac{1}{4^6}\left(20\cdot3^3+15\cdot3^2+6\cdot3^1+1\cdot3^0\right)=\frac{694}{4096}\approx0,1694=16,94\%$$

Eigentlich kenne ich es so, dass mehr als die Hälfte richtig sein muss, damit man eine Prüfung besteht, dann würde die Summe bei \(k=4\) losgehen. Hier reicht es aber laut Aufgabenstellung, dass zum Bestehen mindestens die Hälfte der Aufgaben, also 3, richtig sein müssen.