∇f (x ,y)= (x+y, −x+y)
x + y nach x aufgeleitet ergibt ½x² + xy + c.
Die Integrationskonstante fällt duch Ableitung nach x weg. Durch Ableiten nach y braucht sie aber nicht wegzufallen. c kann also eine Funktion von y sein.
Also ½x² + xy + c(y).
Ableiten nach y ergibt x + c'(y).
Gleichsetzen mit −x+y ergibt
x + c'(y) = -x+y.
Umstellen ergibt
c'(y) = -2x + y.
Aufleiten ergibt
c(y) = -2xy + ½y² + d.
Demanch muss
f(x, y) = ½x² + xy - 2xy + ½y² + d
= ½x² - xy + ½y² + d
sein. Probe ergibt, dass ∇f (x ,y) ≠ (x+y, −x+y) ist. Also gibt es keine geeignete Funktion.