Bestimme gegebenenfalls ein solches f

Question

Entscheide, ob es partiell differenzierbare Funktionen auf R² bzw. R³ gibt mit

∇f (x ,y)= (x+y, −x+y)  bzw. ∇f (x ,y ,z)= (yz, xz, xy)

Bestimme gegebenenfalls ein solches f

Answer 1

∇f (x ,y)= (x+y, −x+y)

x + y nach x aufgeleitet ergibt ½x² + xy + c.

Die Integrationskonstante fällt duch Ableitung nach x weg. Durch Ableiten nach y braucht sie aber nicht wegzufallen. c kann also eine Funktion von y sein.

Also ½x² + xy + c(y).

Ableiten nach y ergibt x + c'(y).

Gleichsetzen mit −x+y ergibt

        x + c'(y) = -x+y.

Umstellen ergibt

        c'(y) = -2x + y.

Aufleiten ergibt

        c(y) = -2xy + ½y² + d.

Demanch muss

      f(x, y) = ½x² + xy - 2xy + ½y² + d
                = ½x² - xy + ½y² + d

sein. Probe ergibt, dass ∇f (x ,y) ≠ (x+y, −x+y) ist. Also gibt es keine geeignete Funktion.