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Aufgabe:

Die Zufallsvariable X ist im Intervall [15,36] gleichverteilt und die Zufallsvariable Y ist normalverteilt mit den Parametern μ=12 und σ2=16. Der Korrelationskoeffizient zwischen den beiden Zufallsvariablen ist ρX,Y=−0.86.

Berechnen Sie die Kovarianz zwischen X und Y!


Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand die Aufgabe erklären könnte.

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Der KorrelationskoeffizientρXY=Cov(X,Y)σXσY\rho_{XY}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\cdot\sigma_Y}enhält die gesuchte Kovarianz:Cov(X;Y)=ρXYσXσY\operatorname{Cov}(X;Y)=\rho_{XY}\cdot\sigma_X\cdot\sigma_Y

Wir kennen ρXY=0,86\rho_{XY}=-0,86 und σY2=16\sigma_Y^2=16.

Die Varianz σX2\sigma_X^2 der gleichverteilten Zufallsvariablen XX mit der Dichte:f(x)={0fu¨x<15121fu¨15x360fu¨x>36f(x)=\left\{\begin{array}{cl}0 & \text{für }x<15\\[1ex]\frac{1}{21} & \text{für }15\le x\le36\\[1ex]0 & \text{für }x>36\end{array}\right.müssen wir noch berechnen:<X>=1536x121dx=[x2221]1536=3624215242=25,5\left<X\right>=\int\limits_{15}^{36}x\cdot\frac{1}{21}\,dx=\left[\frac{x^2}{2\cdot21}\right]_{15}^{36}=\frac{36^2}{42}-\frac{15^2}{42}=25,5<X2>=1536x2121dx=[x3321]1536=3636315363=687\left<X^2\right>=\int\limits_{15}^{36}x^2\cdot\frac{1}{21}\,dx=\left[\frac{x^3}{3\cdot21}\right]_{15}^{36}=\frac{36^3}{63}-\frac{15^3}{63}=687σX2=<X2><X>2=68725,52=36,75\sigma_X^2=\left<X^2\right>-\left<X\right>^2=687-25,5^2=36,75

Damit haben wir alle Werte für die Kovarianz gesammelt:Cov(X;Y)=ρXYσXσY=0,8636,751620,8539\operatorname{Cov}(X;Y)=\rho_{XY}\cdot\sigma_X\cdot\sigma_Y=-0,86\cdot\sqrt{36,75}\cdot\sqrt{16}\approx-20,8539\ldots

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