Berechnen Sie die Kovarianz zwischen X und Y!

Question

Aufgabe:

Die Zufallsvariable X ist im Intervall [15,36] gleichverteilt und die Zufallsvariable Y ist normalverteilt mit den Parametern μ=12 und σ²=16. Der Korrelationskoeffizient zwischen den beiden Zufallsvariablen ist ρ_X,Y=−0.86.

Berechnen Sie die Kovarianz zwischen X und Y!

Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand die Aufgabe erklären könnte.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Der Korrelationskoeffizient$$\rho_{XY}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\cdot\sigma_Y}$$enhält die gesuchte Kovarianz:$$\operatorname{Cov}(X;Y)=\rho_{XY}\cdot\sigma_X\cdot\sigma_Y$$

Wir kennen $\rho_{XY}=-0,86$ und $\sigma_Y^2=16$.

Die Varianz $\sigma_X^2$ der gleichverteilten Zufallsvariablen $X$ mit der Dichte:$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}0 & \text{für }x<15\\[1ex]\frac{1}{21} & \text{für }15\le x\le36\\[1ex]0 & \text{für }x>36\end{array}\right.$$müssen wir noch berechnen:$$\left<X\right>=\int\limits_{15}^{36}x\cdot\frac{1}{21}\,dx=\left[\frac{x^2}{2\cdot21}\right]_{15}^{36}=\frac{36^2}{42}-\frac{15^2}{42}=25,5$$$$\left<X^2\right>=\int\limits_{15}^{36}x^2\cdot\frac{1}{21}\,dx=\left[\frac{x^3}{3\cdot21}\right]_{15}^{36}=\frac{36^3}{63}-\frac{15^3}{63}=687$$$$\sigma_X^2=\left<X^2\right>-\left<X\right>^2=687-25,5^2=36,75$$

Damit haben wir alle Werte für die Kovarianz gesammelt:$$\operatorname{Cov}(X;Y)=\rho_{XY}\cdot\sigma_X\cdot\sigma_Y=-0,86\cdot\sqrt{36,75}\cdot\sqrt{16}\approx-20,8539\ldots$$

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