Aufgabe:
Berechnen Sie den Lotfußpunkt vom Punkt $$ r = \begin{pmatrix} -1\\8 \end{pmatrix} $$ auf der Geraden $$ 3x-y-9 = 0 $$
Problem/Ansatz:
1) Gerade in Parameterdarstellung
$$ l(t) = r + t*v \text{ mit } p = \begin{pmatrix} \frac{-c}{a}\\0 \end{pmatrix} \text{ und } v = \begin{pmatrix} b\\-a \end{pmatrix} $$
$$ v = \begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix} $$
$$ p = \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix} $$
$$ l(t) = \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix} $$
2) Vektor w = r-p ermitteln (Punkt zu Ortsvektor)
$$ w = r - p = \begin{pmatrix} -1\\8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\8 \end{pmatrix} $$
3) t ermitteln
$$ t = \frac{w*v}{||v||^{2}} $$
$$v*w = \begin{pmatrix} -4\\8 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix} = -4*1 + 8*3 = 20 $$
$$||v|| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{4} = 2$$
$$ ||v||^2 = 2^{2} = 4 $$
$$t = \frac{20}{4} = \frac{5}{1} = 5$$
4) t in Parameterdarstellung einsetzen um Lotfußpunkt q zu ermitteln
$$ q = \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix}+ 5\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5\\15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\15 \end{pmatrix} $$
Also ich habe mir die Gerade mal zeichnen lassen und irgendwie kann das ja nicht sein.
Weiß jemand was ich falsch gemacht habe?
