Gerade durch Punkt P bestimmen und Schnitt von Ebene bei 45 Grad

Question

 Ich komme mit folgender Vektoraufgabe nicht zurecht:

Bestimmen sie irgendeine Gerade, die durch P verläuft und die Ebene E in einem Winkel von 45 Grad schneidet.

Gegeben sind hierbei Punkt P=( 4/ 9/ 7) und die Ebenengleichung in Parameterdarstellung:

E:x = (2 / 1 / 0) + s (1 / -3 / 1) + t (0 / 2 / -1)

Nun habe ich mir erst folgendes überlegt: Wenn die Gerade durch den Punkt P verlaufen soll, so muss der Stützvektor der Gerade der Punkt P sein. Ich denke, dass man dann auch den Normalenvektor von der Ebene E bestimmen muss. Danach sollte man bestimmt die Formel für den Schnittwinkel anwenden also cos(45)= (nE*r?)/ ( ΙnEΙ * r?).    r? wäre mein gesuchter Richtungsvektor. Ich weiß aber nicht, ob meine Überlegung stimmt.



Gruß, Sven

Answer 1

Ich würde zunächst den Normalenvektor der Ebene bestimmen

[1, -3, 1] ⨯ [0, 2, -1] = [1, 1, 2]

Nun brauch ich dazu nur einen Vektor der Senkrecht ist und die gleiche Länge hat.

[x, y, z] * [1, 1, 2] = 0
x + y + 2·z = 0
x = - y - 2·z

x^2 + y^2 + z^2 = 1^2 + 1^2 + 2^2
x^2  + y^2  + z^2  = 6
(-y - 2·z)^2  + y^2  + z^2  = 6
2·y^2 + 4·y·z + 5·z^2 = 6
y = √(3 - 3/2·z^2) - z

x = - (√(3 - 3/2·z^2) - z) - 2·z = - √(3 - 3/2·z^2) - z

Damit haben die Richtungsvektoren die Form

[- √(3 - 3/2·z^2) - z, √(3 - 3/2·z^2) - z, z] + [1, 1, 2]
[1 - √(3 - 3/2·z^2) - z, 1 + √(3 - 3/2·z^2) - z, 2 + z]

Der Betrag von z darf hier nicht über √2 = 1.4 sein. Ich setzte mal für z = -1, 0 und 1 ein

[2 - √6/2, √6/2 + 2, 1], [1 - √3, √3 + 1, 2], [- √6/2, √6/2, 3]

Diese 3 Vektoren sollten also die Bedingung erfüllen. Du solltest also mit P und einem dieser Richtungsvektoren die Gerade aufstellen können. Geprüft habe ich das jetzt aber nicht.

Ich schau mal ob der Winkel mit der Ebene 45 Grad beträgt.

arccos([1, 1, 2] * [- √6/2, √6/2, 3] / (|[1, 1, 2]| * |[- √6/2, √6/2, 3]|)) = 45 Grad

Das sieht also soweit recht gut aus.

Comments

x² + y² + z² = 1² + 1² + 2²


Aus welchem Grund wird hier die Gleichung quadriert?

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Der Vektor [x,y,z] soll genau so lang sein wie der vektor [1,1,2].

Wie bestimmt man die Vektorlänge eines Vektors und was kann man mit Wurzeln machen?