zeigen Sie, dass für differenzierbares g dann gilt

Question

Aufgabe:

Eine Funktion ƒ  : ℝⁿ → ℝ heißt kugelsymmetrisch, wenn sie nur von || x || abhängt , d.h. wenn es eine Darstellung der Form ƒ(x) = g(||x||) gibt mit einer Funktion g : ℝ ≥ → ℝ.

zeigen Sie, dass für differenzierbares  g dann gilt

Dƒ(x)^T  = ( g' (||x||) / (||x||) ) * x    für alle x ∈ ℝⁿ  \  {0} .

Problem/Ansatz:

… Wie kann man die Aufgabe lösen ?

Answer 1

Aloha :)

Ich verwende \(\vec r=(x_1;x_2;\ldots x_n)\) und \(r\coloneqq\|\vec r\|\), um mir Tipparbeit zu sparen und um die Komponenten \(x_i\) vom Betrag \(r\) sauber zu unterscheiden.

Den Gradienten einer Funktion \(f(r)\colon\mathbb R^n\to\mathbb R\), die nur vom Betrag \(r\) des Vektors \(\vec r\) abhängt, finden wir durch Anwendung der Kettenregel auf die \(i\)-te Komponente:$$\operatorname{grad}_if(r)=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial }{\partial x_i}\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{2x_i }{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{x_i }{r}$$

Da \(f(r)\) nur von \(r\) abhängt, können wir auch \(f'(r)\) anstatt \(\frac{\partial f}{\partial r}\) schreiben:$$\operatorname{grad}f(r)=f'(r)\begin{pmatrix}x_1/r\\x_2/r\\\vdots\\x_n/r\end{pmatrix}=f'(r)\,\frac{1}{r}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=f'(r)\,\frac{1}{r}\,\vec r=f'(r)\cdot\vec r^0$$

Answer 2

Hallo

mach es explizit für n=3 dann siehst du wie es läuft. notfalls nimm ne konkrete Funktion  ein sin oder e^x

lul