1. und 2. Ableitung von komplexen e-Funktionen: f(x)= x*e^{-x}

Question

 ich brauche  Hilfe bei den Ableitungen einiger Aufgaben.

Die 1. Ableitung fällt mir nicht schwer jedoch habe ich Probleme bei der 2.

Es wäre sehr nett, wenn ihr mir helfen könntet:

a) f(x) = x*e^x  Meine 1. Ableitung ist: 1*e^x + x*e^x

die 2. Ableitung bekomme ich nicht hin

b) f(x)= x*e^-x Meine 1. Ableitung ist 1*e^-x + x(-e^-x)

c) f(x)= 2x*e^-x

d)f(x)= (x+3)*e^x

e) f(x)= (-x+2)*e^x

f) f(x)= x^2*e^x

Ich werde es jetzt weiter ausprobieren, aber es wäre mir eine wirklich sehr große Hilfe, wenn ihr mir vielleicht zu einigen Aufgaben die 1. und 2. Ableitung mit Lösungsweg aufschreibt, damit ich mich daran orientieren kann und sie zur Hilfe nehmen kann.

Answer 1

Hi,

dann mache ich das mal zu den ersten beiden, einverstanden? ;)

 

a) f(x) = x*e^x

die erste Ableitung war völlig richtig:

f'(x) = (x+1)e^x

Für die zweite nutze (wieder) die Produktregel:

u(x) = x+1

u'(x) = 1

v(x) = e^x

v'(x) = e^x

Nun gilt f'(x) = u'*v + u*v'

Bei uns also:

f''(x) = (x+1)e^x + 1*e^x = (x+2)e^x

 

Gleiches Spiel bei b)

f(x) = x*e^{-x}

die erste Ableitung war wieder richtig:

f'(x) = (-x+1)e^{-x}

Wieder Produktregel

u(x) = -x+1

u'(x) = -1

v(x) = e^{-x}

v'(x) = -e^{-x}

f''(x) = (-x+1)(-e^{-x}) + (-1)e^{-x} = (x-2)e^{-x}

 

Alles klar? Viel Spaß beim Rest. Wenn was unklar ist frage nach :).

 

Grüße

Comments

Okay schon einmal vielen Dank!


Ich bin gucke es mir ein wenig später an und falls noch fragen auftauchen dann benachrichtige ich dich.

Jedoch wäre es echt cool, wenn du mir noch einmal bei zum Beispiel c oder e einen Hilfsweg aufschreibst.


Danke nochmal ;)

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die c)/d)/e) funktionieren 1 zu 1 wie die vorgemachten.

Die f) ist minimal anders. Die will ich noch vorgeben. Der Rest ist aber Dein ;).

 

f(x) = x^2*e^-x

die erste Ableitung:

u(x) = x^2

u'(x) = 2x

v(x) = e^-x

v'(x) = -e^-x

f'(x) = x^2(-e^-x) + (2x)e^-x = (-x^2+2x)e^-x

Zweite Ableitung

Wieder Produktregel

u(x) = -x^2+2x

u'(x) = -2x+2

v(x) = e^-x

v'(x) = -e^-x

f''(x) = (-x^2+2x)(-e^-x) + (-2x+2)e^-x = (x^2-4x+2)e^-x

 

Klar geworden? Immer gleiches Prinzip :)

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Ich habe alles ohne Schwierigkeiten hinbekommen!!!


Vielen vielen Dank das ist echt super erklärt worden von dir und ich freu mich riesig alles verstanden zu haben :)

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Na da freu ich mich mit Dir. Sehr schön :).


Und gerne ;).

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Tut mir leid, dass ich nochmal frage, aber mir ist grade aufgefallen, dass ich auch noch die Extremstellen berechnen muss und ich weiß zwar, wie man das macht, jedoch habe ich Schwierigkeiten mit e^x


bei a) wäre es doch

f(x)= x*e^x

f'(x)= e^x*(^+x)

f''= e^x(2+x)

dann setze ich

f'(x) = 0


und nun habe ich Schwierigkeiten, wie ich es mit e^x machen soll. Vielleicht könntest du mir erneut 2 Hilfswege von 2 Afgaben geben a & f vielleicht und dann probiere ich es wieder alleine.


Tut mir leid, dass ich nochmal frage

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Das ist diesmal ganz einfach. Die e-Funktion wird niemals 0. Du brauchst also den Faktor e^x nicht zu berücksichtigen.

f(x) = x*e^x

f'(x)= e^x*(1+x)

f'(x)'= e^x(2+x)

 

Bedingung, dass f'(x) = 0 sein muss:

f'(x) = 0 = e^{x}(1+x)   |:e^x (es darf durch e^x geteilt werden, da e^x≠0)

1+x = 0

x = -1

 

Damit in die zweite Ableitung: f''(-1) > 0

Folglich haben wir ein Minimum. Das noch in f(x) einsetzen und y-Wert ausrechnen:

f(-1) = -e^{-1} ≈ -0,37

Das Minimum liegt also bei T(-1|-0,37)

 

Damit alles klar? Dann wünsche ich Dir viel Spaß beim Bearbeiten der anderen :D.

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ist das mit dem e^x eine Regel, dass es ungleich 0 ist?

und darf ich immer durch e^x teilen und stattdessen eine 0 hinschreiben?

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Ja, das ist eine Regel, dass e^x nicht 0 sein kann.

(Du kannst Dir mal die e-Funktion aufzeichnen und anschauen. Die x-Achse wird nie geschnitten (was die gleiche Aussage ist, wie e^x ≠0))


Was meinst Du mit "Stattdessen eine 0 hinschreiben"? Wenn man überhaupt was hinschreibt, dann eine 1 oder?


e^x(1+x) = 0    |:e^x

1(1+x) = 0

1+x = 0


;)

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ahhh okay mir geht ein Licht auf hervorragend!

Jetzt probiere ich es allein

Vielen Dank für deine super Hilfe!

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Immer gerne. Falls noch was ist...ich bin wahrscheinlich nicht mehr lange hier. Schaue dann morgen danach.

Wobei vorher ging das ja auch super. Schaffst Du sicher auch vollens alleine :).

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Hab alles geschafft! Es war eine Menge zu schreiben, aber ich hab alles hinbekommen. Dank deiner Hilfe


  :)