Wahrscheinlichkeitsrechnung Zentraler Grenzwertsatz

Question

Aufgabe:

Aufgrund langähriger Aufzeichnungen über entsprechende Wahlbeteiligungen gehe man davon aus, dass sich die 14800 wahlberechtigten Studierenden bei einer anstehenden Senatswahl unabhängig voneinander jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 7.5% dazu entschließen, ihr Wahlrecht auch auszuüben und einen Stimmzettel auszufüllen.…

Problem/Ansatz:

Verwenden Sie den zentralen Grenzwertsatz, um näherungsweise die (kleinste) Anzahl von Stimmzetteln zu bestimmen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von (mindestens) 99.5% ausreichend ist.

Answer 1

Aloha :)

Die Anzahl der Wähler unterliegt nach Aufgabenstellung einer Normalverteilung mit:$$n=14800\quad;\quad p=0,075\implies$$$$\mu=n\cdot p=1110\quad;\quad\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\approx32,04294$$

Wir suchen die Grenze \(W\) von Wählern, sodass:$$0,995=P(w<W)=\phi\left(\frac{W-\mu}{\sigma}\right)\implies\frac{W-\mu}{\sigma}=\phi^{-1}(0,995)\approx2,57583\implies$$$$W=\mu+2,57583\cdot\sigma\approx1192,5$$

\(1193\) Stimmzettel sollten mit \(99,5\%\)-iger Wahrscheinlichkeit genügen.

Comments

Aloha ;)

wie kommen sie genau 2,57583?

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Das ist der Wert der inversen Standardnormalverteilung. Es gilt:$$\phi(2,57583)=0,9950\implies\phi^{-1}(0,995)=2,57583$$

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Dankeschön !

Answer 2

P(X ≤ k) = Φ((k - 14800·0.075)/√(14800·0.075·(1 - 0.075))) = 0.995 → k = 1192.5

Damit sollten 1193 Stimmzettel mit einer Wahrscheinlichkeit von 99.5% langen.

Comments

Wie kommen sie auf k= 1192.5?

Ich habe 1141,88 für k herausbekommen .

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Ich löse die Gleichung

Φ((k - 14800·0.075)/√(14800·0.075·(1 - 0.075))) = 0.995

nach k auf.

Φ((k - 1110)/√1026.75) = 0.995
(k - 1110)/√1026.75 = Φ^{-1}(0.995)
k - 1110 = Φ^{-1}(0.995)·√1026.75
k = 1110 + Φ^{-1}(0.995)·√1026.75
k = 1110 + 2.575829289·√1026.75
k = 1192.5