Aloha :)
$$f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R\,,\,f(x;y)=\sin(xy)\quad;\quad g\colon\mathbb R^+\!\times\mathbb R\to\mathbb R^2\,,\,g(x;y)=\binom{x^2+y^2}{\sqrt x}$$
zu a) Die Definitionsbereiche sind ja bereits in der Aufgabenstellung ja bereits exakt angegeben. Die dort angegebenen Wertebereiche kann man jedoch noch einschränken:$$f\colon\mathbb R^2\to[-1;1]\quad;\quad g\colon\mathbb R^+\!\times\mathbb R\to(\mathbb R^{\ge0})^2$$
zu b) Wir berechnen die Jacobi-Matrix von \((h=f\circ g)\) durch Einsetzen:$$h=f(g_1(x;y),g_2(x;y))=f(x^2+y^2,\sqrt x)=\sin\left((x^2+y^2)\cdot\sqrt x\right)$$$$\frac{\partial h}{\partial x}=\cos\left((x^2+y^2)\cdot\sqrt x\right)\cdot\left(2x\sqrt x+(x^2+y^2)\cdot\frac{1}{2\sqrt x}\right)=\frac{(5x^2+y^2)}{2\sqrt x}\cos\left((x^2+y^2)\cdot\sqrt x\right)$$$$\frac{\partial h}{\partial y}=2y\sqrt x\cdot\cos\left((x^2+y^2)\cdot\sqrt x\right)$$
Die Jacobi-Matrix von \(h\) lautet daher:$$J_h(x;y)=\cos\left((x^2+y^2)\cdot\sqrt x\right)\begin{pmatrix}\frac{5x^2+y^2}{2\sqrt x} & 2y\sqrt x\end{pmatrix}$$
zu c) Mittels der Kettenregel lautet die Jacobi-Matrix:$$J_h(x;y)=J_f(g_1(x;y),g_2(x;y))\cdot J_g(x;y)$$$$\phantom{J_h(x;y)}=\begin{pmatrix}y\cos(xy) & x\cos(xy)\end{pmatrix}_{{x=g_1(x;y)}\atop{y=g_2(x;y)}}\cdot\begin{pmatrix}2x & 2y\\\frac{1}{2\sqrt x} & 0\end{pmatrix}$$$$\phantom{J_h(x;y)}=\begin{pmatrix}\sqrt x\cos((x^2+y^2)\sqrt x) & (x^2+y^2)\cos((x^2+y^2)\sqrt x)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2x & 2y\\\frac{1}{2\sqrt x} & 0\end{pmatrix}$$$$\phantom{J_h(x;y)}=\cos((x^2+y^2)\sqrt x)\cdot\begin{pmatrix}\sqrt x & (x^2+y^2)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2x & 2y\\\frac{1}{2\sqrt x} & 0\end{pmatrix}$$$$\phantom{J_h(x;y)}=\cos((x^2+y^2)\sqrt x)\cdot\begin{pmatrix}2x\sqrt x+\frac{x^2+y^2}{2\sqrt x} & 2y\sqrt x\end{pmatrix}$$$$\phantom{J_h(x;y)}=\cos\left((x^2+y^2)\cdot\sqrt x\right)\begin{pmatrix}\frac{5x^2+y^2}{2\sqrt x} & 2y\sqrt x\end{pmatrix}$$
