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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Galoisgruppe Gal(Q12/Q) des Kreisteilungskörpers Q12
uber Q zu (Z/2Z)2 isomorph ist.


Problem/Ansatz:

Beschreiben Sie den Körper Q12 als Q(a, b) mit expliziten Elementen a, b,
wobei [Q(a) : Q] = [Q(b) : Q] = 2 ist

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Sei a=ia=i, dann ist [Q(i) : Q]=2[Q(i):Q]=2.

Ferner sei b=ωb=\omega mit einer primitiven 3-ten Einheitswurzel ω\omega,

für die gilt: ω2+ω+1=0\omega^2+\omega+1=0.

Dann ist auch [Q(ω) : Q]=2[Q(\omega):Q]=2.

Da ord(i)=4ord(i)=4 und ord(ω)=3ord(\omega)=3 teilerfremd sind,

ist ord(iω))=12ord(i\omega))=12, d.h. iωi\omega ist eine primitive

12-te Einheitswurzel und es gilt

Q(iω)=Q(i,ω)Q(i\omega)=Q(i,\omega).

Nun definieren wir σGal(Q12/Q)\sigma\in Gal(Q_{12}/Q) durch

σ(i)=i,σ(ω)=ω\sigma(i)=-i, \quad \sigma(\omega)=\omega\quad

und τGal(Q12/Q)\tau \in Gal(Q_{12}/Q) durch

τ(ω)=ω2,τ(i)=i\tau(\omega)=\omega^2,\quad \tau(i)=i.

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