galoisgruppe isomorphie zu q zeigen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Galoisgruppe Gal(Q12/Q) des Kreisteilungskörpers Q12
uber Q zu (Z/2Z)² isomorph ist.

Problem/Ansatz:

Beschreiben Sie den Körper Q12 als Q(a, b) mit expliziten Elementen a, b,
wobei [Q(a) : Q] = [Q(b) : Q] = 2 ist

Answer 1

Sei $a=i$, dann ist $[Q(i):Q]=2$.

Ferner sei $b=\omega$ mit einer primitiven 3-ten Einheitswurzel $\omega$,

für die gilt: $\omega^2+\omega+1=0$.

Dann ist auch $[Q(\omega):Q]=2$.

Da $ord(i)=4$ und $ord(\omega)=3$ teilerfremd sind,

ist $ord(i\omega))=12$, d.h. $i\omega$ ist eine primitive

12-te Einheitswurzel und es gilt

$Q(i\omega)=Q(i,\omega)$.

Nun definieren wir $\sigma\in Gal(Q_{12}/Q)$ durch

$\sigma(i)=-i, \quad \sigma(\omega)=\omega\quad$

und $\tau \in Gal(Q_{12}/Q)$ durch

$\tau(\omega)=\omega^2,\quad \tau(i)=i$.