Beweisen Sie das zusätzlich dass a ∫ b f(x)dx = 0 so ist f \equiv 0 auf ganz [a, b] gilt

Question

Aufgabe:

Sei \( f[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig und sei \( f(x) \geq 0 \) für alle \( x \in[a, b] \). Beweisen Sie: Gilt zusätzlich
\( \int\limits_{a}^{b} \)f(x)dx = 0
so ist \( f \equiv 0 \) auf ganz [a, b].

Problem/Ansatz:

Schönen gut Abend, ich sitze gerade an dieser Aufgabe, aber kriege sie nicht hin. Ich tue mich sehr schwer mit beweisen, würde jemand so nett sein und mir bei der Aufgabe helfen?

Answer 1

Würde ich indirekt versuchen. Die Idee wäre:

Wenn es ein z ∈]a,b[ gäbe mit f(z)>0,dann gibt es wegen der

Stetigkeit auch eine ganze ε-Umgebung U von z mit f(z)>0 für

alle z∈U. Dann kann man das Integral in 3 Teile aufteilen:

von a bis z-ε und von z-ε bis z+ε  und von z+ε bis b.

Das mittlere ist dann größer als 0 und die anderen

beiden größer oder gleich 0, also die

Summe der 3 jedenfalls größer 0 im Widerspruch

zur Vor. Integral von a bis b = 0.

Dann muss man noch die beiden Endpunkte a und b

extra betrachten, da hat man dann eine Umgebung z.B.

von a bis a+ε. Und man teilt es nur in 2 Integrale auf.

Etwas nachdenklich macht mich, dass nicht a<b vorausgesetzt

ist.