bestimmen Sie das Integral \intQ (c2 + (y2 +1) z2 siny + zex) d(x,y,z)

Question

Aufgabe:

bestimmen Sie das Integral $\int\limits_{Q}^{}$ (c² + (y² +1) z² siny + ze^x) d(x,y,z)

für Q = { (x,y,z) ∈ ℝ³ | 0 < x < 1, -2 < y < 2, 0 < z < 1}

Mein Ansatz wäre:

$\int\limits_{0}^{1}$  $\int\limits_{-2}^{2}$  $\int\limits_{0}^{1}$  (c² + (y² +1) z² siny + ze^x) dz dy dx

= $\int\limits_{0}^{1}$  $\int\limits_{-2}^{2}$   [ 1/3z³ * (y² +1) siny + 1/2 z² * e^x] mit grenzen 1, 0, dy dx

= $\int\limits_{0}^{1}$  $\int\limits_{-2}^{2}$  1/3 (y²+1) * siny + 1/2 e^x dy dx

= $\int\limits_{0}^{1}$   [-cosy *  1/3 * 1/3 y³] oben 2, unten -2 dx

= 0

Answer 1

Aloha :)

$$I=\int\limits_{x=0}^1\;\;\int\limits_{y=-2}^2\,\;\int\limits_{z=0}^1\left(c^2+(y^2+1)z^2\sin y+ze^x\right)\,dx\,dy\,dz$$

Du hast zuerst über $dz$ integriert:$$I=\int\limits_{x=0}^1\;\;\int\limits_{y=-2}^2\left[c^2z+(y^2+1)\frac{z^3}{3}\sin y+\frac{z^2}{2}e^x\right]_{z=0}^1\,dx\,dy$$$$\phantom I=\int\limits_{x=0}^1\;\;\int\limits_{y=-2}^2\left(c^2+\frac13(y^2+1)\sin y+\frac{e^x}{2}\right)dx\,dy$$Dabei ist dir das $c^2$ verloren gegangen.

Da die Integration über $dy$ partielle Integration erfordert, schlage ich vor, nun erst über $dx$ zu integrieren. Das geht erstmal einfacher und wir müssen nachher nicht so viel Ballast mitschleppen:$$\phantom I=\int\limits_{y=-2}^2\left[c^2x+\frac x3(y^2+1)\sin y+\frac{e^x}{2}\right]_{x=0}^1dy=\int\limits_{y=-2}^2\left(c^2+\frac 13(y^2+1)\sin y+\frac {e-1}{2}\right)dy$$$$\phantom I=\int\limits_{y=-2}^2\left(c^2+\frac {e-1}{2}\right)dy+\int\limits_{y=-2}^2\frac 13(y^2+1)\sin y\,dy$$Da der Integrand des zweiten Integrals eine ungerade Funktion ist und das Integrationsintervall symmetrisch um $0$ herum ist, ist das zweite Integral null. Das erste Integral ist titi:$$=4c^2+2(e-1)$$

Comments

Woran erkenne ich immer, dass ich die partielle Integration nutzen muss? Wo sehe ich das in diesem Integral? Wegen siny(*y² ...) ? Weil zweimal y und miteinander multipliziert wird? Kann ich diese nicht einfach einzeln integrieren und dann weiterhin multiplizieren?

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Partielle Integration ist immer nützlich, wenn du ein Produkt integrieren möchtest. Hier ist das Produkt $(y^2+1)\cdot\sin y$.

Wie ich aber weiter unten geschrieben habe, brauchst du das Integral hier gar nicht explizit zu bestimmen.

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Das c² habe ich falsch abgetippt. Da gehört x² hin.
Wenn ich also nach x zuerst integriere, fällt doch ein riesiger Teil weg.

Dann müsste ich doch nur noch x² + ze^x nach x integrieren. Oder? Darf ich das so machen? Weil der mittlere Term ist ja nur addiert und wird dann als Konstante betrachtet und fällt einfach weg?

Dann hätte ich $\int\limits_{0}^{1}$ $\int\limits_{-2}^{2}$ x^3/3 + ze^x (denn ze^x nach x integriert ist doch weiterhin ze^x, oder? )

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Nein, das ist falsch. Der mittlere Summand des Integranden muss im Integral mit $x$ multipliziert werden. Guckst du:$$I=\int\limits_{x=0}^1\;\;\int\limits_{y=-2}^2\,\;\int\limits_{z=0}^1\left(x^2+(y^2+1)z^2\sin y+ze^x\right)\,dx\,dy\,dz$$$$\phantom I=\int\limits_{y=-2}^2\,\;\int\limits_{z=0}^1\left[\frac{x^3}{3}+x\cdot(y^2+1)z^2\sin y+ze^x\right]_{x=0}^1\,dy\,dz$$$$\phantom I=\int\limits_{y=-2}^2\,\;\int\limits_{z=0}^1\left(\frac{1}{3}+(y^2+1)z^2\sin y+ze-z\right)dy\,dz$$

Answer 2

Ich habe es so versucht:

$\int\limits_{0}^{1}$   $\int\limits_{-2}^{2}$  $\int\limits_{0}^{1} (c^2 + (y^2 +1) z^2 sin(y) + ze^x)$  dz dy dx

Das c ist wohl auch ein x.  Also so:

$\int\limits_{0}^{1}$   $\int\limits_{-2}^{2}$  $\int\limits_{0}^{1} (x^2 + (y^2 +1) z^2 sin(y) + ze^x)$  dz dy dx

$= \int\limits_{0}^{1}$   $\int\limits_{-2}^{2}$  $\int\limits_{0}^{1} (x^2 +z^2 (y^2 +1) sin(y)) + ze^x)$  dz dy dx

$= \int\limits_{-2}^{2}$  $\int\limits_{0}^{1} [ x^2z + \frac{1}{3}z^3((y^2 +1) sin(y)) + \frac{1}{2}z^2e^x]_0^1$   dy dx

$= \int\limits_{-2}^{2}$  $\int\limits_{0}^{1} ( x^2 + \frac{ (y^2 +1) sin(y)}{3} + \frac{e^x}{2})$  dy dx

$= \int\limits_{0}^{1}$  $\int\limits_{-2}^{2} ( x^2 + \frac{ (y^2 +1) sin(y)}{3} + \frac{e^x}{2})$  dx dy

etc.

Comments

entschuldigung, oh man, statt c² sollte da ein x² stehen! Bei so viel abtippen passieren mir leider Fehler.

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Na dann muss man wohl was nachbessern.