bestimmen Sie das Integral \int_{Q}^{} (c2 + (y2 +1) z2 siny + zex) d(x,y,z)

Question

Aufgabe:

bestimmen Sie das Integral \( \int\limits_{Q}^{} \) (c² + (y² +1) z² siny + ze^x) d(x,y,z)

für Q = { (x,y,z) ∈ ℝ³ | 0 < x < 1, -2 < y < 2, 0 < z < 1}

Mein Ansatz wäre:

\( \int\limits_{0}^{1} \)  \( \int\limits_{-2}^{2} \)  \( \int\limits_{0}^{1} \)  (c² + (y² +1) z² siny + ze^x) dz dy dx

= \( \int\limits_{0}^{1} \)  \( \int\limits_{-2}^{2} \)   [ 1/3z³ * (y² +1) siny + 1/2 z² * e^x] mit grenzen 1, 0, dy dx

= \( \int\limits_{0}^{1} \)  \( \int\limits_{-2}^{2} \)  1/3 (y²+1) * siny + 1/2 e^x dy dx

= \( \int\limits_{0}^{1} \)   [-cosy *  1/3 * 1/3 y³] oben 2, unten -2 dx

= 0

Answer 1

Aloha :)

$$I=\int\limits_{x=0}^1\;\;\int\limits_{y=-2}^2\,\;\int\limits_{z=0}^1\left(c^2+(y^2+1)z^2\sin y+ze^x\right)\,dx\,dy\,dz$$

Du hast zuerst über \(dz\) integriert:$$I=\int\limits_{x=0}^1\;\;\int\limits_{y=-2}^2\left[c^2z+(y^2+1)\frac{z^3}{3}\sin y+\frac{z^2}{2}e^x\right]_{z=0}^1\,dx\,dy$$$$\phantom I=\int\limits_{x=0}^1\;\;\int\limits_{y=-2}^2\left(c^2+\frac13(y^2+1)\sin y+\frac{e^x}{2}\right)dx\,dy$$Dabei ist dir das \(c^2\) verloren gegangen.

Da die Integration über \(dy\) partielle Integration erfordert, schlage ich vor, nun erst über \(dx\) zu integrieren. Das geht erstmal einfacher und wir müssen nachher nicht so viel Ballast mitschleppen:$$\phantom I=\int\limits_{y=-2}^2\left[c^2x+\frac x3(y^2+1)\sin y+\frac{e^x}{2}\right]_{x=0}^1dy=\int\limits_{y=-2}^2\left(c^2+\frac 13(y^2+1)\sin y+\frac {e-1}{2}\right)dy$$$$\phantom I=\int\limits_{y=-2}^2\left(c^2+\frac {e-1}{2}\right)dy+\int\limits_{y=-2}^2\frac 13(y^2+1)\sin y\,dy$$Da der Integrand des zweiten Integrals eine ungerade Funktion ist und das Integrationsintervall symmetrisch um \(0\) herum ist, ist das zweite Integral null. Das erste Integral ist titi:$$=4c^2+2(e-1)$$

Comments

Woran erkenne ich immer, dass ich die partielle Integration nutzen muss? Wo sehe ich das in diesem Integral? Wegen siny(*y^2 ...) ? Weil zweimal y und miteinander multipliziert wird? Kann ich diese nicht einfach einzeln integrieren und dann weiterhin multiplizieren?

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Partielle Integration ist immer nützlich, wenn du ein Produkt integrieren möchtest. Hier ist das Produkt \((y^2+1)\cdot\sin y\).

Wie ich aber weiter unten geschrieben habe, brauchst du das Integral hier gar nicht explizit zu bestimmen.

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Das c^2 habe ich falsch abgetippt. Da gehört x^2 hin.
Wenn ich also nach x zuerst integriere, fällt doch ein riesiger Teil weg.

Dann müsste ich doch nur noch x^2 + ze^x nach x integrieren. Oder? Darf ich das so machen? Weil der mittlere Term ist ja nur addiert und wird dann als Konstante betrachtet und fällt einfach weg?

Dann hätte ich \( \int\limits_{0}^{1} \) \( \int\limits_{-2}^{2} \) x^3/3 + ze^x (denn ze^x nach x integriert ist doch weiterhin ze^x, oder? )

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Nein, das ist falsch. Der mittlere Summand des Integranden muss im Integral mit \(x\) multipliziert werden. Guckst du:$$I=\int\limits_{x=0}^1\;\;\int\limits_{y=-2}^2\,\;\int\limits_{z=0}^1\left(x^2+(y^2+1)z^2\sin y+ze^x\right)\,dx\,dy\,dz$$$$\phantom I=\int\limits_{y=-2}^2\,\;\int\limits_{z=0}^1\left[\frac{x^3}{3}+x\cdot(y^2+1)z^2\sin y+ze^x\right]_{x=0}^1\,dy\,dz$$$$\phantom I=\int\limits_{y=-2}^2\,\;\int\limits_{z=0}^1\left(\frac{1}{3}+(y^2+1)z^2\sin y+ze-z\right)dy\,dz$$

Answer 2

Ich habe es so versucht:

\( \int\limits_{0}^{1} \)   \( \int\limits_{-2}^{2} \)  \( \int\limits_{0}^{1}  (c^2 + (y^2 +1) z^2 sin(y) + ze^x) \)  dz dy dx

Das c ist wohl auch ein x.  Also so:

\( \int\limits_{0}^{1} \)   \( \int\limits_{-2}^{2} \)  \( \int\limits_{0}^{1}  (x^2 + (y^2 +1) z^2 sin(y) + ze^x) \)  dz dy dx

\( = \int\limits_{0}^{1} \)   \( \int\limits_{-2}^{2} \)  \( \int\limits_{0}^{1}  (x^2 +z^2 (y^2 +1)  sin(y)) + ze^x) \)  dz dy dx

\( =  \int\limits_{-2}^{2} \)  \( \int\limits_{0}^{1}  [  x^2z + \frac{1}{3}z^3((y^2 +1)  sin(y)) + \frac{1}{2}z^2e^x]_0^1 \)   dy dx

\( =  \int\limits_{-2}^{2} \)  \( \int\limits_{0}^{1}  (  x^2 + \frac{ (y^2 +1)  sin(y)}{3} + \frac{e^x}{2}) \)  dy dx

\( =  \int\limits_{0}^{1} \)  \( \int\limits_{-2}^{2}  (   x^2 + \frac{ (y^2 +1)  sin(y)}{3} + \frac{e^x}{2}) \)  dx dy

etc.

Comments

entschuldigung, oh man, statt c^2 sollte da ein x^2 stehen! Bei so viel abtippen passieren mir leider Fehler.

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Na dann muss man wohl was nachbessern.