Hallöle,
ich bin gerade in der Klausurvorbereitung und möchte zeigen, dass die Menge \( M:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+y z+z^{2}=1\right\} \) kompakt ist. Als Teilmenge des \(\mathbb{R}^n \) zeige ich die Abgeschlossen- und Beschränktheit.
Für die Abgeschlossenheit definiere ich mir eine Funktion \( \phi (x,y,z)=x^2+y^2+yz+z^2 \), dann ist \(\phi ^{-1} \{1\}=M \) und somit ist die Menge abgeschlossen (Urbilder abgeschlossener Mengen...).
Die Beschränktheit bereitet mir Probleme. Wenn ich mir das in Geogebra zeichnen lasse: https://www.geogebra.org/3d/dbbwzzyy dann sieht man die Beschränktheit. Ich kann ja z.B. einen Würfel \( [2,0,0] \times [0,2,0] \times [0,0,2] \) darum legen, der den Körper komplett umfasst. In der Klausur stehen mir solche Hilfsmittel nicht zu verfügung. Deshalb wollte ich fragen, wie man das "mathematisch" löst?